(3.0 pontos) Resolva a seguinte EDO com coeficientes variáveis, sob condição de Dirichlet no intervalo [0, \pi]
\left\{\begin{array}{l} t \ddot{y}(t)+2 \dot{y}(t)+t y(t)=0 \\\ y(0)=1 \\\ y(\pi)=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO com coeficientes variáveis
t\ddot{y}(t) + 2\dot{y}(t) + t\,y(t) = 0
sob condições de Dirichlet em [0,\pi]:
y(0)=1,\quad y(\pi)=0.
O conteúdo é uma equação de Bessel esférica de ordem zero.

Passo 2

Dividindo a equação por t (assumindo t>0) obtemos a forma padrão
\ddot{y}(t) + \frac{2}{t}\dot{y}(t) + y(t) = 0,
que coincide com a equação de Bessel esférica de ordem zero.

Passo 3

A solução geral da equação de Bessel esférica de ordem zero é
y(t) = A\,j_0(t) + B\,n_0(t),
onde
j_0(t)=\frac{\sin t}{t}, \quad n_0(t)=-\frac{\cos t}{t}.
Isto pode ser reescrito como
y(t)=\frac{\alpha\sin t + \beta\cos t}{t}.

Passo 4

Para que y(t) seja finita em t=0, o termo com \cos t/t não pode estar presente, pois \lim_{t\to0}\cos t/t = \infty. Logo \beta=0 e
y(t)=\alpha\,\frac{\sin t}{t}.
Impondo y(0)=1 e usando \lim_{t\to0}\sin t/t = 1 \alpha=1. Assim
y(t)=\frac{\sin t}{t}.

Passo 5

Verificamos a condição em t=\pi:
y(\pi)=\frac{\sin\pi}{\pi}=0,
que satisfaz y(\pi)=0. Portanto a única solução é a dada.

Resposta

y(t)=\frac{\sin t}{t}.

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