(3.0 pontos) Resolva a seguinte EDO com coeficientes variáveis, sob condição de Dirichlet no intervalo
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO com coeficientes variáveis
sob condições de Dirichlet em
:
O conteúdo é uma equação de Bessel esférica de ordem zero.
Passo 2
Dividindo a equação por
(assumindo
) obtemos a forma padrão
que coincide com a equação de Bessel esférica de ordem zero.
Passo 3
A solução geral da equação de Bessel esférica de ordem zero é
onde
Isto pode ser reescrito como
Passo 4
Para que
seja finita em
, o termo com
não pode estar presente, pois
. Logo
e
Impondo
e usando
dá
. Assim
Passo 5
Verificamos a condição em
:
que satisfaz
. Portanto a única solução é a dada.