Calcule as seguintes integrais:
(1,0) \int\left[\frac{3}{\sqrt{1+x^{2}}}-2 \cos x\right] d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\Bigl[\frac{3}{\sqrt{1+x^{2}}}-2\cos x\Bigr]dx.
O conteúdo é integração de funções elementares: usaremos a primitiva de 1/\sqrt{1+x^2} e a primitiva de \cos x.

Passo 2

Separamos a integral em duas partes:
\int\frac{3}{\sqrt{1+x^{2}}}dx \;-\;\int 2\cos x\,dx.

Passo 3

Para o primeiro termo usamos que
\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{arcsinh}(x)\bigr] =\frac1{\sqrt{1+x^2}}.
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\int\frac{3}{\sqrt{1+x^2}}dx =3\int\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx =3\,\operatorname{arcsinh}(x)+C_{1}.

Passo 4

Para o segundo termo temos a primitiva de \cos x:
\int 2\cos x\,dx =2\sin x + C_{2}.
Como vinha com sinal negativo, fica
-\int2\cos x\,dx = -2\sin x + \widetilde C.

Passo 5

Somando os resultados e juntando as constantes num único C, obtemos
\int\Bigl[\frac{3}{\sqrt{1+x^{2}}}-2\cos x\Bigr]dx =3\,\operatorname{arcsinh}(x)\;-\;2\sin x\;+\;C.

Resposta

3\,\operatorname{arcsinh}(x)\;-\;2\sin x\;+\;C.

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