(2,0 pontos) Calcular a integral indefinida
integral tan ^2 x csc ^2 x d x
reduzindo-a a uma integral imediata.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral tan^2x ,csc^2x,dx
Usaremos identidades trigonométricas para simplificar o integrando até obter uma “integral imediata”.

Passo 2

Observe que
tan^2x,csc^2x =sin^2xcos^2xcdot1sin^2x =1cos^2x =sec^2x
Portanto a integral vira
integral tan^2x,csc^2x,dx =integral sec^2x,dx

Passo 3

A integral de sec^2x é imediata: basta lembrar que
ddx(tan x)=sec^2x
Logo, usando a substituição trivial u=tan x, du=sec^2x,dx, temos
integral sec^2x,dx =tan x + C

Resposta

tan x + C

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