Find the derivative of the vector function.
10. r(t)=lang<= e^-t, t-t^3, ln trang<=

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função vetorial
r(t)=llang<= e^-t,,t - t^3,,ln trrang<=.
Para isso vamos usar que a derivada de uma função vetorial
r(t)=lang<= f(t),g(t),h(t)rang<= é
r'(t)=lang<= f'(t),g'(t),h'(t)rang<=.

Passo 2

Calculamos a derivada da primeira componente f(t)=e^-t.
Usando a regra da cadeia,
f'(t)=ddtl(e^-tr) =e^-tcdotddt(-t) =-e^-t

Passo 3

Calculamos a derivada da segunda componente g(t)=t-t^3.
Aplicando a regra do somatório e a regra de potência,
g'(t)=ddt(t)-ddt(t^3) =1-3t^2

Passo 4

Calculamos a derivada da terceira componente h(t)=ln t.
Sabemos que
h'(t)=ddt(ln t)=1t

Passo 5

Agora juntamos as três derivadas em um único vetor:
r'(t)=llang<= -e^-t,,1-3t^2,,tfrac1trrang<=

Resposta

r'(t)=llang<= -e^-t,,1-3t^2,,tfrac1trrang<=

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