(3,0 pontos) Calcular
Integral de -infinito a infinito de
Sugestão: Observar a paridade do integrando e aplicar a Transformada de Fourier.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
Aqui a variável de integração é real, logo
. O conteúdo principal envolve paridade de funções e uma fórmula padrão de integral imprópria que aparece na Transformada de Fourier.
Passo 2
Analisamos a paridade de
–
é função ímpar.
– é função ímpar.
– é função par.
O produto de duas funções ímpares é uma função par, e dividir por coisa par mantém a paridade par. Assim
–
–
O produto de duas funções ímpares é uma função par, e dividir por coisa par mantém a paridade par. Assim
e
Passo 3
Vamos usar a fórmula padrão (obtida, por exemplo, via Transformada de Fourier de
ou tabelas de integrais):
válida para
e
.
Passo 4
No nosso caso temos
e
. Portanto
Passo 5
Voltando à integral original: