(3,0 pontos) Calcular
Integral de -infinito a infinito de \left[z^{*} \operatorname{sen}(z) /\left(z^{\wedge} 2+1\right)\right] d z
Sugestão: Observar a paridade do integrando e aplicar a Transformada de Fourier.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{z^{*}\,\operatorname{sen}(z)}{z^{2}+1}\,dz.
Aqui a variável de integração é real, logo z^{*}=z. O conteúdo principal envolve paridade de funções e uma fórmula padrão de integral imprópria que aparece na Transformada de Fourier.

Passo 2

Analisamos a paridade de
f(z)=\frac{z\,\operatorname{sen}(z)}{z^{2}+1}.
z é função ímpar.
\operatorname{sen}(z) é função ímpar.
z^{2}+1 é função par.
O produto de duas funções ímpares é uma função par, e dividir por coisa par mantém a paridade par. Assim
f(-z)=f(z),
e
\int_{-\infty}^{\infty}f(z)\,dz =2\int_{0}^{\infty}f(z)\,dz =2\int_{0}^{\infty}\frac{z\,\operatorname{sen}(z)}{z^{2}+1}\,dz.

Passo 3

Vamos usar a fórmula padrão (obtida, por exemplo, via Transformada de Fourier de e^{-b|t|} ou tabelas de integrais):
\int_{0}^{\infty}\frac{x\,\operatorname{sen}(a x)}{x^{2}+b^{2}}\,dx =\frac{\pi}{2}\,e^{-b a},
válida para a>0 e b>0.

Passo 4

No nosso caso temos a=1 e b=1. Portanto
\int_{0}^{\infty}\frac{z\,\operatorname{sen}(z)}{z^{2}+1}\,dz =\frac{\pi}{2}\,e^{-1}.

Passo 5

Voltando à integral original:
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{z\,\operatorname{sen}(z)}{z^{2}+1}\,dz =2\cdot\frac{\pi}{2}\,e^{-1} =\pi\,e^{-1}.

Resposta

\pi\,e^{-1}

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