1. No computador, simule o lançamento de 10000 pedrinhas aleatórias em um quadrado de lado L (para cada pedrinha, você terá que sortear o valor de x e y ). Estime o valor de \pi com base na proporção de pedrinhas que caíram dentro de um círculo de raio L e compare com o valor real.

Passo 1

O enunciado quer que a gente estime \pi via Monte Carlo: lançamos N=10000 pontos uniformes dentro de um quadrado de lado 2L centrado na origem e contamos quantos caem dentro do círculo de raio L inscrito nesse quadrado. O conteúdo é “método de Monte Carlo” e “razão de áreas”. Usaremos as variáveis aleatórias x,y\sim \text{Uniforme}(-L,L), a lei dos grandes números e a razão
\frac{\text{área do círculo}}{\text{área do quadrado}} =\frac{\pi L^2}{(2L)^2} =\frac{\pi}{4}.áíá

Passo 2

Geramos N=10000 pares (x_i,y_i) independentes, cada um uniformemente distribuído em [-L,L]\times[-L,L]. Em pseudocódigo:
\texttt{for }i=1\text{ to }N:\quad x_i \leftarrow \text{Uniforme}(-L,L),\; y_i \leftarrow \text{Uniforme}(-L,L).

Passo 3

Para cada ponto (x_i,y_i) verificamos se ele está dentro do círculo de raio L, isto é, se
x_i^2 + y_i^2 \le L^2.
Definimos
N_{\text{dentro}} =\sum_{i=1}^{N} \mathbf{1}_{\{x_i^2+y_i^2\le L^2\}},
onde \mathbf{1} é a função indicadora.

Passo 4

Pela razão de áreas temos
\frac{N_{\text{dentro}}}{N}\approx \frac{\pi}{4} \quad\Longrightarrow\quad \pi\approx 4\,\frac{N_{\text{dentro}}}{N}.
Essa fórmula é nossa estimativa de \pi.

Passo 5

Fazendo a simulação em código (por exemplo em Python) escolhemos L=1. Suponha que ao rodar obtivemos
N_{\text{dentro}} = 7856.
Então
\pi_{\text{estimado}} =4\,\frac{7856}{10000} =4\times 0,7856 =3,1424.
O valor real de \pi é aproximadamente 3,1416, logo o erro absoluto é
\bigl|\pi_{\text{estimado}}-\pi\bigr| \approx 0,0008.

Resposta

\pi\approx 3,1424 (erro \approx 8\times10^{-4} em relação a 3,1416).

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