(4,0 pontos) Considere o modelo da nanopartícula na caixa. Neste sistema, a nanopartícula está sob a ação de um campo de forças que, embora seja muito intenso no interior do domínio Omega,
é nulo fora dele, o que faz com que a nanopartícula fique aprisionada lá. Vamos tomar o caso unidimensional, onde Omega
, e o limite de força chamado de ‘poço retangular infinito’. Neste caso, o modelo é dado por:
Uinfinito
, se x em
;
+infinito, se x fora de [
}
Devido à intensidade de Uinfinito fora do intervalo [ 0 , L ], devemos ter
sempre que x fora de
.
Portanto, a equação de Schrodinger se torna:
Aplique, de forma detalhada, a técnica de separação de variáveis a este problema. Use a teoria das séries de Fourier para resolver este problema quando o domínio for [0, pi] e a condição inicial for
em
.
é nulo fora dele, o que faz com que a nanopartícula fique aprisionada lá. Vamos tomar o caso unidimensional, onde Omega
+infinito, se x fora de [
Passo 1
O problema é a equação de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula num poço infinito unidimensional em
, com
e condição inicial
O conteúdo necessário é separação de variáveis para obter modos estacionários e uso de séries de Fourier (série de senos) para satisfazer a condição inicial.
Passo 2
Começamos assumindo solução por separação de variáveis:
Substituindo na equação de Schrödinger
dá, após dividir por
,
onde
é a constante de separação (energia).
Passo 3
A parte espacial satisfaz
com
. As soluções não-triviais são
e os autovalores de energia são
Passo 4
A parte temporal satisfaz
cuja solução é
Passo 5
Logo, o modo geral é combinação linear:
Passo 6
Impondo
, temos
Os coeficientes
vêm da série de Fourier de senos em
:
Passo 7
Calculamos
Portanto
Passo 8
Substituindo em
, a solução completa é