O potencial elétrico em uma certa região do espaço é dado pela função V(x, y, z)=x^{2}-3 x y+x y z.
(a) Encontre a taxa de variação do potencial no ponto P=(3,4,5) na direção do vetor \vec{u}= (1,1,-1);
(b) Em qual direção o potencial muda mais rapidamente no ponto P=(3,4,5) ?
(c) Qual é a taxa de variação máxima do pontencial nesse ponto?

Passo 1

O enunciado dá o potencial elétrico
V(x,y,z)=x^{2}-3xy+xyz
e o ponto P=(3,4,5). Pede:
a) a derivada direcional de V em P ao longo de \vec{u}=(1,1,-1);
b) a direção em que V varia mais rapidamente em P;
c) a taxa máxima de variação de V em P.
Conteúdo necessário: gradiente de V e derivada direcional.

Passo 2

Calcular o gradiente de V:
\nabla V(x,y,z) =\Bigl(\frac{\partial V}{\partial x},\,\frac{\partial V}{\partial y},\,\frac{\partial V}{\partial z}\Bigr) =\bigl(2x-3y+yz,\;-3x+xz,\;xy\bigr).
Em P=(3,4,5) isso vale
\nabla V(3,4,5) =\bigl(2\cdot3-3\cdot4+4\cdot5,\;-3\cdot3+3\cdot5,\;3\cdot4\bigr) =(6-12+20,\;-9+15,\;12) =(14,\,6,\,12).

Passo 3

Para a derivada direcional em direção a \vec{u}=(1,1,-1) primeiro normalizamos \vec{u}:
\|\vec{u}\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{3},\quad \hat{u}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,-1).
Então
D_{\hat{u}}V(P)=\nabla V(P)\cdot\hat{u} =\bigl(14,6,12\bigr)\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}\bigl(1,1,-1\bigr) =\frac{14+6-12}{\sqrt{3}} =\frac{8}{\sqrt{3}}.

Passo 4

A direção de máximo aumento de V em P é a direção do próprio gradiente \nabla V(3,4,5)=(14,6,12), ou seja, ao longo do vetor
(14,6,12)
(ou de sua versão unitária \tfrac{1}{\sqrt{376}}(14,6,12)).

Passo 5

A taxa de variação máxima de V em P é o módulo do gradiente:
\|\nabla V(3,4,5)\| =\sqrt{14^{2}+6^{2}+12^{2}} =\sqrt{196+36+144} =\sqrt{376} =2\sqrt{94}.

Resposta

a) \displaystyle \frac{8}{\sqrt{3}}
b) Na direção do gradiente \displaystyle (14,6,12) (ou seu vetor unitário \tfrac{1}{\sqrt{376}}(14,6,12)).
c) \displaystyle 2\sqrt{94}.

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