O potencial elétrico em uma certa região do espaço é dado pela função
.
(a) Encontre a taxa de variação do potencial no ponto
na direção do vetor
;
(b) Em qual direção o potencial muda mais rapidamente no ponto
?
(c) Qual é a taxa de variação máxima do pontencial nesse ponto?
(a) Encontre a taxa de variação do potencial no ponto
(b) Em qual direção o potencial muda mais rapidamente no ponto
(c) Qual é a taxa de variação máxima do pontencial nesse ponto?
Passo 1
O enunciado dá o potencial elétrico
e o ponto
. Pede:
a) a derivada direcional de em
ao longo de
;
b) a direção em que varia mais rapidamente em
;
c) a taxa máxima de variação de em
.
Conteúdo necessário: gradiente de e derivada direcional.
a) a derivada direcional de
b) a direção em que
c) a taxa máxima de variação de
Conteúdo necessário: gradiente de
Passo 2
Calcular o gradiente de
:
Em
isso vale
Passo 3
Para a derivada direcional em direção a
primeiro normalizamos
:
Então
Passo 4
A direção de máximo aumento de
em
é a direção do próprio gradiente
, ou seja, ao longo do vetor
(ou de sua versão unitária
).
Passo 5
A taxa de variação máxima de
em
é o módulo do gradiente:
Resposta
a)
b) Na direção do gradiente (ou seu vetor unitário
).
c) .
b) Na direção do gradiente
c)