(6 pontos) Calcular o volume do sólido de revolução:
Obtido com a rotação da região limitada pelas retas x+2 y=2, y=0 e x=0 em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado nos dá a região no primeiro quadrante limitada pelas retas x+2y=2, y=0 e x=0, e pede o volume do sólido obtido ao girar essa região em torno do eixo x. O conteúdo aqui é cálculo de volume por revolução usando o método dos discos.

Passo 2

Para aplicar o método dos discos, precisamos expressar a fronteira superior da região como função de x. Da reta x+2y=2 temos
y = \frac{2 - x}{2}.
Além disso, a região varia em x de 0 (interseção com o eixo y) até 2 (interseção com o eixo x).

Passo 3

O método dos discos diz que o volume é
V = \int_{x=0}^{2} \pi\bigl[y(x)\bigr]^{2}\,dx.
Substituindo y(x)=\tfrac{2-x}{2},
V = \pi \int_{0}^{2} \left(\frac{2 - x}{2}\right)^{2} dx.

Passo 4

Vamos calcular a integral:
\int_{0}^{2} \left(\frac{2 - x}{2}\right)^{2} dx = \frac{1}{4} \int_{0}^{2} (2 - x)^{2} dx = \frac{1}{4} \int_{0}^{2} \bigl(4 - 4x + x^{2}\bigr) dx.
Agora,
\int_{0}^{2} (4 - 4x + x^{2}) dx = \Bigl[4x - 2x^{2} + \tfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{2} = \bigl(8 - 8 + \tfrac{8}{3}\bigr) - 0 = \frac{8}{3}.
Logo,
\int_{0}^{2} \left(\frac{2 - x}{2}\right)^{2} dx = \frac{1}{4} \cdot \frac{8}{3} = \frac{2}{3}.

Passo 5

Multiplicando por \pi, obtemos o volume do sólido:
V = \pi \cdot \frac{2}{3} = \frac{2\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle V = \frac{2\pi}{3}

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