Resolva as integrais indefinidas elementares que contém um trinômio quadrado abaixo.
\int \frac{x+3}{x^{2}-2 x-5} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x+3}{x^{2}-2x-5}\,dx
Este é um caso de integral de função racional onde o grau do numerador é menor que o do denominador. Vamos usar a técnica de decomposição do numerador em parte proporcional à derivada do denominador e parte restante, além de completar o quadrado para integrar a fração remanescente.

Passo 2

Observamos que a derivada de x^{2}-2x-5 é
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}-2x-5\bigr)=2x-2.
Queremos escrever o numerador x+3 na forma
x+3 = A\,(2x-2) + B
para achar constantes A e B. Igualando coeficientes em
x+3 = 2A x - 2A + B
vemos que
2A = 1 \quad\Longrightarrow\quad A = \tfrac12,
e em seguida
-2A + B = 3 \quad\Longrightarrow\quad -1 + B = 3 \quad\Longrightarrow\quad B = 4.
Logo
x+3 = \tfrac12\,(2x-2) + 4.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\int \frac{x+3}{x^{2}-2x-5}\,dx = \frac12 \int \frac{2x-2}{x^{2}-2x-5}\,dx + 4 \int \frac{1}{x^{2}-2x-5}\,dx.
A primeira parte é imediata, pois
\int \frac{2x-2}{x^{2}-2x-5}\,dx = \ln\bigl|x^{2}-2x-5\bigr| + C_1.
Assim essa contribuição vale
\frac12 \ln\bigl|x^{2}-2x-5\bigr|.

Passo 4

Para a segunda parte, completamos o quadrado no denominador:
x^{2}-2x-5 = (x-1)^{2} - 6.
Fazendo a troca de variável u = x-1, du = dx, temos
\int \frac{1}{x^{2}-2x-5}\,dx = \int \frac{1}{u^{2}-6}\,du.
Usamos a integral conhecida
\int \frac{du}{u^{2}-a^{2}} = \frac{1}{2a}\,\ln\Bigl|\frac{u-a}{u+a}\Bigr| + C_2,
com a=\sqrt{6}. Portanto
\int \frac{1}{u^{2}-6}\,du = \frac{1}{2\sqrt{6}} \ln\!\Bigl|\frac{u-\sqrt{6}}{u+\sqrt{6}}\Bigr| = \frac{1}{2\sqrt{6}} \ln\!\Bigl|\frac{x-1-\sqrt{6}}{x-1+\sqrt{6}}\Bigr|.
Multiplicando por 4, essa parte fica
4 \int \frac{1}{x^{2}-2x-5}\,dx = \frac{4}{2\sqrt{6}} \ln\!\Bigl|\frac{x-1-\sqrt{6}}{x-1+\sqrt{6}}\Bigr| = \frac{2}{\sqrt{6}} \ln\!\Bigl|\frac{x-1-\sqrt{6}}{x-1+\sqrt{6}}\Bigr|.

Passo 5

Somando as duas partes e agrupando a constante de integração, a integral completa é
\int \frac{x+3}{x^{2}-2x-5}\,dx = \frac12 \ln\bigl|x^{2}-2x-5\bigr| + \frac{2}{\sqrt{6}} \ln\!\Bigl|\frac{x-1-\sqrt{6}}{x-1+\sqrt{6}}\Bigr| + C.

Resposta

\boxed{ \int \frac{x+3}{x^{2}-2x-5}\,dx = \frac12 \ln\bigl|x^{2}-2x-5\bigr| + \frac{2}{\sqrt{6}} \ln\!\Bigl|\frac{x-1-\sqrt{6}}{x-1+\sqrt{6}}\Bigr| + C }.

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