Resolva as integrais indefinidas elementares que contém um trinômio quadrado abaixo. \int \frac{x+3}{x^{2}-2 x-5} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x+3}{x^{2}-2x-5}\,dx
Este é um caso de integral de função racional onde o grau do numerador é menor que o do denominador. Vamos usar a técnica de decomposição do numerador em parte proporcional à derivada do denominador e parte restante, além de completar o quadrado para integrar a fração remanescente.
Passo 2
Observamos que a derivada de x^{2}-2x-5 é
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}-2x-5\bigr)=2x-2.
Queremos escrever o numerador x+3 na forma
x+3 = A\,(2x-2) + B
para achar constantes A e B. Igualando coeficientes em
x+3 = 2A x - 2A + B
vemos que
2A = 1 \quad\Longrightarrow\quad A = \tfrac12,
e em seguida
-2A + B = 3 \quad\Longrightarrow\quad -1 + B = 3 \quad\Longrightarrow\quad B = 4.