Resolva as integrais indefinidas elementares que contém um trinômio quadrado abaixo.
\int \frac{2 x-1}{\left(2 x+x^{2}\right) \sqrt{2 x+x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{2x-1}{\bigl(2x+x^2\bigr)\sqrt{2x+x^2}}\;dx.
O conteúdo aqui é técnica de ansatz: reconhecer que o integrando pode ser visto como a derivada de uma função da forma \frac{Ax+B}{\sqrt{2x+x^2}}.

Passo 2

Defina
D = 2x + x^2,
de modo que o integrando fica
\frac{2x-1}{D\,\sqrt{D}} = \frac{2x-1}{D^{3/2}}.
Procuramos uma função
H(x) = \frac{A x + B}{\sqrt{D}} = (A x + B)\,D^{-1/2}
cuja derivada seja exatamente \frac{2x-1}{D^{3/2}}.

Passo 3

Calculemos H'(x)\) por produto e cadeia: \[H'(x) = (A x + B)'\,D^{-1/2} + (A x + B)\,\bigl(D^{-1/2}\bigr)' = \frac{A}{\sqrt{D}} + (A x + B)\,\biggl(-\tfrac12\biggr)D^{-3/2}\,D'
e como D' = 2x+2 = 2(x+1), temos
H'(x) = \frac{A}{\sqrt{D}} - \frac{(A x + B)\,(x+1)}{D^{3/2}} = \frac{A\,D - (A x + B)(x+1)}{D^{3/2}}.
No numerador:
A\,D - (A x + B)(x+1) = A(x^2+2x) - \bigl(A x + B\bigr)(x+1) = (A - B)x - B.
Queremos H'(x)=\frac{2x-1}{D^{3/2}}, isto é,
(A - B)x - B = 2x - 1.
Isso gera o sistema
\begin{cases} A - B = 2,\\\\ -\,B = -1, \end{cases}
cuja solução é B=1\] e \(A=3.

Passo 4

Assim encontramos que
\frac{d}{dx}\!\biggl(\frac{3x+1}{\sqrt{2x+x^2}}\biggr) =\frac{2x-1}{(2x+x^2)^{3/2}},
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\int \frac{2x-1}{\bigl(2x+x^2\bigr)\sqrt{2x+x^2}}\;dx = \frac{3x+1}{\sqrt{2x+x^2}} + C.

Resposta

\boxed{\frac{3x+1}{\sqrt{2x+x^2}} + C.}

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