(5 pontos) Calcule a área abaixo do gráfico da função f(x)=\operatorname{sen}(x)+\cos (x), em \left[0, \frac{\pi}{2}\right]

Passo 1

O enunciado pede a área sob o gráfico de f(x)=\sin(x)+\cos(x) no intervalo \bigl[0,\tfrac{\pi}{2}\bigr]. Em cálculo integral, essa área é dada pela integral definida de f entre os limites de integração.

Passo 2

Escrevemos a área A como
A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\bigl(\sin(x)+\cos(x)\bigr)\,dx.

Passo 3

Para integrar, achamos uma primitiva F(x) de f(x). Sabemos que
\int \sin(x)\,dx = -\cos(x), \quad \int \cos(x)\,dx = \sin(x).
Logo,
F(x) = -\cos(x) + \sin(x).

Passo 4

Avaliamo-s F nos extremos e subtraímos:
F\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr) = -\cos\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr) + \sin\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr) = -0 + 1 = 1,
F(0) = -\cos(0) + \sin(0) = -1 + 0 = -1.
Portanto,
A = F\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr) - F(0) = 1 - (-1) = 2.

Resposta

2

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