(2,5 Pontos) Use a Teoria de Campos Conservativos para calcular o trabalho realizado pela campo vetorial \vec{F}(x, y, z)=2 x y \hat{i}+\left(x^{2}+2 y z\right) \hat{j}+y^{2} \hat{k} para mover uma partícula ao longo de um segmento de reta que liga o ponto (2,-3,1) ao ponto (-5,1,2)

Passo 1

O enunciado pede o trabalho feito pelo campo \vec F(x,y,z)=2xy\,\hat i+(x^2+2yz)\,\hat j+y^2\,\hat k ao levar uma partícula de A=(2,-3,1) até B=(-5,1,2). O conteúdo é Teoria de Campos Conservativos: se \vec F for conservativo em \mathbb{R}^3, podemos achar uma função potencial f tal que \nabla f=\vec F e então
W = f(B)-f(A).

Passo 2

Verificamos rapidamente que \vec F é conservativo em \mathbb{R}^3 (um domínio simplesmente conexo) pois as derivadas cruzadas coincidem:
\frac{\partial}{\partial y}(2xy)=2x,\quad \frac{\partial}{\partial x}(x^2+2yz)=2x,
\frac{\partial}{\partial z}(x^2+2yz)=2y,\quad \frac{\partial}{\partial y}(y^2)=2y,
e as demais combinações também conferem.

Passo 3

Procuramos f(x,y,z) tal que
\frac{\partial f}{\partial x}=2xy,\quad \frac{\partial f}{\partial y}=x^2+2yz,\quad \frac{\partial f}{\partial z}=y^2.
Integrando \partial f/\partial x=2xy em relação a x,
f(x,y,z)=\int 2xy\,dx = x^2y + g(y,z).
Derivando isso em y e igualando a x^2+2yz
\frac{\partial f}{\partial y}=x^2 + \frac{\partial g}{\partial y}=x^2+2yz \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial g}{\partial y}=2yz.
Integramos em y:
g(y,z)=\int2yz\,dy = y^2z + h(z).
Por fim, \partial f/\partial z=y^2+\!h'(z) deve valer y^2, logo h'(z)=0. Tomando h(z)=C, podemos escolher C=0. Assim
f(x,y,z)=x^2y + y^2z.

Passo 4

Calculamos o trabalho pela diferença da potencial entre B e A:
f(B)=f(-5,1,2)=(-5)^2\cdot1 + 1^2\cdot2 = 25 + 2 = 27,
f(A)=f(2,-3,1)=2^2\cdot(-3) + (-3)^2\cdot1 = -12 + 9 = -3.
Logo
W = f(B)-f(A) = 27 - (-3) = 30.

Resposta

O trabalho realizado pelo campo é 30.

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