(2,5 Pontos) Use a Teoria de Campos Conservativos para calcular o trabalho realizado pela campo vetorial
para mover uma partícula ao longo de um segmento de reta que liga o ponto
ao ponto
Passo 1
O enunciado pede o trabalho feito pelo campo
ao levar uma partícula de
até
. O conteúdo é Teoria de Campos Conservativos: se
for conservativo em
, podemos achar uma função potencial
tal que
e então
Passo 2
Verificamos rapidamente que
é conservativo em
(um domínio simplesmente conexo) pois as derivadas cruzadas coincidem:
e as demais combinações também conferem.
Passo 3
Procuramos
tal que
Integrando
em relação a
,
Derivando isso em
e igualando a
dá
Integramos em
:
Por fim,
deve valer
, logo
. Tomando
, podemos escolher
. Assim
Passo 4
Calculamos o trabalho pela diferença da potencial entre
e
:
Logo
Resposta
O trabalho realizado pelo campo é
.