(2,5 Pontos) Calcule a massa de uma membrana descrita por uma superfície triangular de vértices (1,0,0),(0,-2,0),(0,0,4), cuja função densidade é dada por \delta(x, y, z)=x

Passo 1

O enunciado pede a massa de uma membrana triangular com vértices (1,0,0), (0,-2,0) e (0,0,4), cuja densidade é \delta(x,y,z)=x. O conteúdo envolvido é cálculo de integral de superfície para massa, ou seja
M = \iint_{S} \delta(x,y,z)\,dS.
Vamos parametrizar o triângulo, calcular o elemento de área dS e então avaliar a integral dupla.

Passo 2

Escolhemos como ponto de referência P_0=(1,0,0) e os vetores de aresta
\mathbf{v}= (0,-2,0)-(1,0,0)=(-1,-2,0), \quad \mathbf{w}=(0,0,4)-(1,0,0)=(-1,0,4).
Definimos a parametrização
\mathbf{r}(s,t)= (1,0,0)+s\,\mathbf{v}+t\,\mathbf{w},
com (s,t) variando no triângulo em que s\ge0, t\ge0 e s+t\le1.

Passo 3

Calculamos os vetores tangentes
\mathbf{r}_s = \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial s}=(-1,-2,0), \quad \mathbf{r}_t = \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial t}=(-1,0,4).
O módulo do produto vetorial dá o elemento de área:
\mathbf{r}_s\times\mathbf{r}_t = \bigl(-8,\,4,\,-2\bigr),
\bigl\|\mathbf{r}_s\times\mathbf{r}_t\bigr\| =\sqrt{(-8)^2+4^2+(-2)^2} =\sqrt{84} =2\sqrt{21}.
Logo
dS = \bigl\|\mathbf{r}_s\times\mathbf{r}_t\bigr\|\,ds\,dt =2\sqrt{21}\,ds\,dt.

Passo 4

Na parametrização, as coordenadas são
x(s,t)=1 - s - t, \quad y(s,t)=-2s, \quad z(s,t)=4t.
Como \delta(x,y,z)=x, temos
\delta(s,t)=1 - s - t.

Passo 5

A massa é
M = \iint_{S} x\,dS = \int_{s=0}^{1}\int_{t=0}^{1-s} \bigl(1 - s - t\bigr)\,2\sqrt{21}\,dt\,ds.
Primeiro, a integral interna em t:
\int_{0}^{1-s}(1-s-t)\,dt =(1-s)(1-s)-\frac{(1-s)^2}{2} =\frac{(1-s)^2}{2}.
Então
M = 2\sqrt{21}\int_{0}^{1}\frac{(1-s)^2}{2}\,ds =\sqrt{21}\int_{0}^{1}(1-s)^2\,ds =\sqrt{21}\cdot\frac{1}{3} =\frac{\sqrt{21}}{3}.

Resposta

M=\frac{\sqrt{21}}{3}.

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