(5 pontos) Calcule a área hachurada entre a parábola
e a reta tangente a ela no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede: “Calcule a área hachurada entre a parábola
e a reta tangente a ela no ponto
.”
Informações dadas e o que precisamos identificar:
Informações dadas e o que precisamos identificar:
- A função dada é
. - O ponto de tangência é
. Não foi enviada figura; portanto trabalharemos só com os dados algébricos. - Precisamos encontrar a reta tangente a
no ponto e então calcular a área entre essa reta e a parábola (a região “hachurada” mencionada).
A partir daqui vamos achar a reta tangente, verificar onde ela cruza a parábola e usar a definição de área entre curvas para concluir o valor da área.
Passo 2
Calcular o valor de
em
. Isso nos dá as coordenadas de
.
Logo
é o ponto
.
Passo 3
Achar a derivada
para obter a inclinação da reta tangente em qualquer ponto. Lembre que a derivada de
é
e a derivada de
é
.
A inclinação da tangente em
é
Interpretação: a tangente em
é horizontal (declive zero). A derivada nos dá exatamente isso: a taxa de variação instantânea da função, que é a inclinação da reta tangente.
Passo 4
Escrever a equação da reta tangente em
usando a fórmula ponto-inclinação da reta tangente:
A equação da tangente em é
.
Com ,
e
, temos
A equação da tangente em
Com
Portanto a reta tangente é a reta horizontal
.
Passo 5
Determinar como a parábola fica em relação à reta
. Calculamos a diferença
:
Observações importantes sobre esta expressão:
-
é sempre maior ou igual a zero para todo . -
só quando .
Isto nos diz que a parábola está sempre em cima (ou igual) da reta, tocando-a apenas no ponto . Geometricamente: é o vértice da parábola e a tangente aí é a reta horizontal mínima.
Passo 6
Usar a definição prática de “área entre duas curvas”: se duas curvas se interceptam em
e
e para
uma está sempre acima da outra, a área entre elas é
Aqui, para encontrar os limites
e
devemos resolver
:
As intersecções em abscissa reduzem-se a um único ponto
. Ou seja,
. A integral definida entre
e
é nula:
Outra maneira de ver: a região entre as curvas é apenas o ponto de tangência (não há região de largura positiva), e um conjunto de medida zero tem área
.
Passo 7
Conclusão e interpretação final: como a parábola toca a reta tangente apenas em um ponto e fica acima dela em todo o resto, não existe uma região fechada de largura positiva entre as duas curvas; portanto a área hachurada pedida é
. Força aí — esse tipo de exercício costuma pegar muita gente por distração, mas a chave foi ver que
é vértice e a diferença é
.