(5 pontos) Calcule a área hachurada entre a parábola f(x)=x^{2}-4 x+6 e a reta tangente a ela no ponto A(2, f(2)).

Passo 1

O enunciado pede: “Calcule a área hachurada entre a parábola f(x)=x^{2}-4x+6 e a reta tangente a ela no ponto A(2,f(2)).”
Informações dadas e o que precisamos identificar:
  • A função dada é f(x)=x^{2}-4x+6.
  • O ponto de tangência é A(2,f(2)). Não foi enviada figura; portanto trabalharemos só com os dados algébricos.
  • Precisamos encontrar a reta tangente a f no ponto A e então calcular a área entre essa reta e a parábola (a região “hachurada” mencionada).
    A partir daqui vamos achar a reta tangente, verificar onde ela cruza a parábola e usar a definição de área entre curvas para concluir o valor da área.

Passo 2

Calcular o valor de f em x=2. Isso nos dá as coordenadas de A.
f(2)=2^{2}-4\cdot2+6=4-8+6=2.
Logo A é o ponto (2,2).

Passo 3

Achar a derivada f'(x) para obter a inclinação da reta tangente em qualquer ponto. Lembre que a derivada de x^{2} é 2x e a derivada de -4x é -4.
f'(x)=2x-4.
A inclinação da tangente em x=2 é
f'(2)=2\cdot2-4=0.
Interpretação: a tangente em x=2 é horizontal (declive zero). A derivada nos dá exatamente isso: a taxa de variação instantânea da função, que é a inclinação da reta tangente.

Passo 4

Escrever a equação da reta tangente em A usando a fórmula ponto-inclinação da reta tangente:
A equação da tangente em x=a é \,y=f(a)+f'(a)(x-a)\,.
Com a=2, f(2)=2 e f'(2)=0, temos
y = 2 + 0\cdot(x-2) = 2.
Portanto a reta tangente é a reta horizontal \,y=2\,.

Passo 5

Determinar como a parábola fica em relação à reta y=2. Calculamos a diferença f(x)-2:
f(x)-2 = (x^{2}-4x+6)-2 = x^{2}-4x+4 = (x-2)^{2}.
Observações importantes sobre esta expressão:
  • (x-2)^{2} é sempre maior ou igual a zero para todo x.
  • (x-2)^{2}=0 só quando x=2.
    Isto nos diz que a parábola está sempre em cima (ou igual) da reta y=2, tocando-a apenas no ponto x=2. Geometricamente: x=2 é o vértice da parábola e a tangente aí é a reta horizontal mínima.

Passo 6

Usar a definição prática de “área entre duas curvas”: se duas curvas se interceptam em x=a e x=b e para x\in[a,b] uma está sempre acima da outra, a área entre elas é
\text{Área}=\int_{a}^{b} (\text{função superior} - \text{função inferior})\,dx.Áçãçã
Aqui, para encontrar os limites a e b devemos resolver f(x)=2:
(x-2)^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad x=2.
As intersecções em abscissa reduzem-se a um único ponto x=2. Ou seja, a=b=2. A integral definida entre 2 e 2 é nula:
\int_{2}^{2} (f(x)-2)\,dx = 0.
Outra maneira de ver: a região entre as curvas é apenas o ponto de tangência (não há região de largura positiva), e um conjunto de medida zero tem área 0.

Passo 7

Conclusão e interpretação final: como a parábola toca a reta tangente apenas em um ponto e fica acima dela em todo o resto, não existe uma região fechada de largura positiva entre as duas curvas; portanto a área hachurada pedida é 0. Força aí — esse tipo de exercício costuma pegar muita gente por distração, mas a chave foi ver que x=2 é vértice e a diferença é (x-2)^2.

Resposta

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