(5 pontos) Determine o comprimento do arco da curva \mathrm{y}=\mathrm{x}^{\wedge}(3 / 2) / 3 entre \mathrm{x}=0 e \mathrm{x}=9.

Passo 1

O enunciado dá a curva \mathrm{y}=\dfrac{\mathrm{x}^{3/2}}{3} e pede o comprimento do arco dessa curva entre \mathrm{x}=0 e \mathrm{x}=9.
Informações relevantes que já temos:
\quad a função é \mathrm{y}=\dfrac{\mathrm{x}^{3/2}}{3}.
\quad os limites em x são a=0 e b=9.
O que exatamente precisamos calcular: o comprimento do arco da curva no intervalo [0,9].

Passo 2

Fórmula que vamos usar (essa é a definição padrão do comprimento de arco para uma curva dada por y=f(x) em [a,b]):
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\,dx.
Explicando a fórmula de forma simples: se você aproximar a curva por pequenos segmentos retos, cada segmento tem comprimento aproximadamente \sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}=\sqrt{1+\bigl(\tfrac{\Delta y}{\Delta x}\bigr)^{2}}\;\Delta x. No limite \Delta x\to0 isso vira a integral acima. Aqui f'(x)=\dfrac{dy}{dx} é a derivada da função.

Passo 3

Vamos calcular a derivada y'=f'(x). A função é \mathrm{y}=\dfrac{\mathrm{x}^{3/2}}{3}. Usando a regra da potência: para \mathrm{x}^{n} temos \dfrac{d}{dx}\mathrm{x}^{n}=n\mathrm{x}^{n-1}. Aplicando:
\frac{d}{dx}\bigl(\mathrm{x}^{3/2}\bigr)=\frac{3}{2}\mathrm{x}^{1/2}.
Como há fator 1/3 multiplicando, obtemos
y'=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}\mathrm{x}^{1/2}=\frac{1}{2}\mathrm{x}^{1/2}.
Breve reforço: a derivada de \mathrm{x}^{3/2} é \tfrac{3}{2}\mathrm{x}^{1/2}; multiplicar por 1/3 cancela o 3 deixando \tfrac{1}{2}\mathrm{x}^{1/2}.

Passo 4

Agora substituímos y' na fórmula do comprimento:
1+\bigl(y'\bigr)^{2}=1+\left(\frac{1}{2}\mathrm{x}^{1/2}\right)^{2}=1+\frac{1}{4}\mathrm{x}.
Fazendo uma simplificação útil:
1+\frac{1}{4}\mathrm{x}=\frac{4+\mathrm{x}}{4},
portanto
\sqrt{1+\bigl(y'\bigr)^{2}}=\sqrt{\frac{4+\mathrm{x}}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{4+\mathrm{x}}.

Passo 5

Substituindo isso na integral do comprimento, com os limites 0 e 9, obtemos
L=\int_{0}^{9}\frac{1}{2}\sqrt{4+\mathrm{x}}\,dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{9}\sqrt{4+\mathrm{x}}\,dx.
Aqui puxei \tfrac{1}{2} para fora da integral porque é constante.

Passo 6

Fazer a integral é mais fácil com a substituição u=4+\mathrm{x}. Então du=dx. Quando \mathrm{x}=0 temos u=4. Quando \mathrm{x}=9 temos u=13. A integral vira
L=\frac{1}{2}\int_{u=4}^{u=13}u^{1/2}\,du.

Passo 7

Usamos a regra de integração para potências: \displaystyle\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1} para n\neq-1. Aqui n=\tfrac{1}{2}, então
\int u^{1/2}\,du=\frac{u^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}u^{3/2}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{2} que está fora:
L=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}\Big|_{4}^{13}=\frac{1}{3}u^{3/2}\Big|_{4}^{13}.

Passo 8

Agora avaliamos nos limites:
L=\frac{1}{3}\bigl(13^{3/2}-4^{3/2}\bigr).
Podemos simplificar 13^{3/2} e 4^{3/2}: lembre que a^{3/2}=a\sqrt{a}. Assim 13^{3/2}=13\sqrt{13} e 4^{3/2}=4\sqrt{4}=4\cdot2=8. Portanto
L=\frac{1}{3}\bigl(13\sqrt{13}-8\bigr).

Passo 9

Opcionalmente podemos dar uma aproximação numérica para ter uma ideia do valor: \sqrt{13}\approx 3,605551, então 13\sqrt{13}\approx 46,872166. Subtraindo 8 obtém-se \approx 38,872166 e dividindo por 3 dá
L\approx 12,9573887\\ (\text{aprox. }12,9574).
Força aí — fizemos tudo passo a passo; na prova, basta seguir a mesma sequência: derivar, montar \sqrt{1+(y')^{2}}, simplificar e integrar.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}\bigl(13\sqrt{13}-8\bigr)
\displaystyle \approx 12,9574

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