(5 pontos) A temperatura T(t)=22+4 \sin (\pi t / 8)\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right), com t em horas após as 6 h. Calcule a temperatura média entre 6 h e 18 h .

Passo 1

O enunciado dá a temperatura em função do tempo
T(t)=22+4\sin\!\left(\frac{\pi t}{8}\right)\;({}^\circ\mathrm{C}),
onde t é o número de horas após as 6 h. Pede-se a temperatura média entre 6 h e 18 h.\n
Informações importantes extraídas do enunciado:
\text{início: }6\text{ h} \Rightarrow t=0,í
\text{fim: }18\text{ h} \Rightarrow t=12,
T(t)=22+4\sin\!\left(\frac{\pi t}{8}\right).
A pergunta única é: qual é a temperatura média de T(t) no intervalo t\in[0,12]?

Passo 2

Vou usar a definição de valor médio de uma função contínua em um intervalo. A fórmula é:
\text{valor médio}=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(t)\,dt,é
onde a e b são os extremos do intervalo e f(t) é a função. Aqui:
a=0,\qquad b=12,\qquad f(t)=T(t).
Explicando a fórmula: \int_a^b f(t)\,dt dá a “área sob a curva” de f entre a e b. Dividindo essa área pelo comprimento do intervalo (b-a) obtemos a altura média — ou seja, o valor médio da função no intervalo.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso:
\overline{T}=\frac{1}{12}\int_{0}^{12}\left(22+4\sin\!\left(\frac{\pi t}{8}\right)\right)dt.
Usamos a linearidade da integral para separar:
\overline{T}=\frac{1}{12}\left(\int_{0}^{12}22\,dt+4\int_{0}^{12}\sin\!\left(\frac{\pi t}{8}\right)dt\right).

Passo 4

Calculo da primeira integral (constante):
\int_{0}^{12}22\,dt=22\cdot(12-0)=22\cdot12=264.
Justificação: a integral de uma constante c em [a,b] é c(b-a).

Passo 5

Calculo da segunda integral envolvendo seno. Podemos usar a fórmula padrão
\int \sin(at)\,dt=-\frac{1}{a}\cos(at)+C,
onde a é uma constante. Aqui a=\frac{\pi}{8}. Portanto um antiderivado de \sin\!\left(\frac{\pi t}{8}\right) é
-\frac{1}{\pi/8}\cos\!\left(\frac{\pi t}{8}\right)=-\frac{8}{\pi}\cos\!\left(\frac{\pi t}{8}\right).
Agora avaliamos a integral definida:
\int_{0}^{12}\sin\!\left(\frac{\pi t}{8}\right)dt=\left[-\frac{8}{\pi}\cos\!\left(\frac{\pi t}{8}\right)\right]_{0}^{12}.
Computando os cossenos nos limites: \cos\!\left(\frac{\pi\cdot12}{8}\right)=\cos\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=0 e \cos(0)=1. Assim
\int_{0}^{12}\sin\!\left(\frac{\pi t}{8}\right)dt=-\frac{8}{\pi}\bigl(0-1\bigr)=\frac{8}{\pi}.
Multiplicando pelo fator 4 que estava fora da integral:
4\int_{0}^{12}\sin\!\left(\frac{\pi t}{8}\right)dt=4\cdot\frac{8}{\pi}=\frac{32}{\pi}.

Passo 6

Somando as duas partes e dividindo por 12:
\overline{T}=\frac{1}{12}\left(264+\frac{32}{\pi}\right)=\frac{264}{12}+\frac{32}{12\pi}=22+\frac{8}{3\pi}.
Esse é o valor exato. Como verificação rápida: \frac{8}{3\pi}\approx0{,}849, então numericamente
\overline{T}\approx22{,}8488\;({}^\circ\mathrm{C}).
Faz sentido: a função oscila em torno de 22{}^\circ\mathrm{C} com amplitude 4{}^\circ\mathrm{C}, e a média ficou um pouco acima de 22{}^\circ\mathrm{C} por causa da área positiva do seno no trecho considerado.

Resposta

\overline{T}=22+\frac{8}{3\pi}\;({}^\circ\mathrm{C})\approx22{,}8488\;({}^\circ\mathrm{C})

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