Para o mesmo modelo anterior, considere que o veículo está se movendo em uma via que possui um comprimento de onda (distância entre picos) de 20 metros e amplitude de 0,08 metros. Para um amortecimento estimado em
, determine a amplitude da resposta estacionária do carro (
) se a velocidade do veículo for:
(b)
;
(b)
Passo 1
O que o enunciado dá e o que ele pede (identificação clara):
- O enunciado fornece:
- comprimento de onda da via:
(distância entre picos); - amplitude da irregularidade da via (excitação):
— peguei esse valor do enunciado; - amortecimento do sistema (coeficiente viscoso):
— peguei esse valor do enunciado; - velocidade do veículo (caso b):
.
- comprimento de onda da via:
- O que é pedido:
- determinar a amplitude da resposta estacionária do carro, que chamaremos de
, quando o veículo trafega a .
- determinar a amplitude da resposta estacionária do carro, que chamaremos de
- Informação que falta e que é necessária para obter um valor numérico:
- NÃO foi fornecido pelo enunciado o valor da massa equivalente do carro
(ou massa por roda/quarto-car) nem a rigidez da suspensão (ou a frequência natural ). Esses parâmetros são essenciais para calcular numericamente .
- NÃO foi fornecido pelo enunciado o valor da massa equivalente do carro
- Conclusão deste passo: tenho tudo para obter a frequência de excitação (da estrada) e a fórmula geral da amplitude estacionária, mas NÃO tenho dados suficientes para um número final sem
e . Vou explicar a teoria, mostrar como calcular a frequência de excitação, deduzir a fórmula que dá e, ao final, mostrar que falta e para obter um valor numérico. Também mostro um exemplo ilustrativo com valores assumidos para ver como se calcula na prática.
Passo 2
Converter a velocidade do veículo para a frequência de excitação (passo prático e obrigatório):
- Primeiro converto a velocidade de
para : - A frequência de passagem pelas irregularidades (número de cristas por segundo) é a velocidade dividida pelo comprimento de onda:
(Usei que veio do enunciado.) - A frequência angular de excitação é
- Comentário didático curto: fisicamente, a estrada impõe uma excitação harmônica ao veículo com amplitude
e frequência . Essa é a entrada para o sistema massa-mola-amortecedor.
Passo 3
Modelo físico e equação de movimento (aula curta e intuitiva):
- Considere o modelo clássico de um grau de liberdade (SDOF) para a massa suspensa (o “carro” ou quarto-car): massa
ligada a uma mola de rigidez e a um amortecedor com coeficiente . A base (rodovia) impõe um deslocamento harmônico . - Defina
como o deslocamento absoluto da massa (do carro) e como o deslocamento relativo mola/amortecedor em relação à base. - A equação do movimento em termos de
é (esta é a equação padrão para excitação de base): Aqui . - Procura-se a solução estacionária (regime permanente) para resposta harmônica. O deslocamento relativo em regime permanente tem amplitude
tal que Explicação das variáveis nesta fórmula: -
é a massa (kg); -
é a rigidez da suspensão (N/m); -
é o amortecimento fornecido (aqui ); -
é a frequência angular de excitação (rad/s), calculada no Passo 2; -
é a amplitude da excitação da base (aqui ); -
é a amplitude do deslocamento relativo massa-base.
-
- A amplitude absoluta da massa (do carro) em regime estacionário, que é o que normalmente se chama de amplitude da resposta do carro
, é a soma da amplitude da base com a amplitude relativa: Observação física: a massa tem um deslocamento absoluto composto pelo movimento da estrada mais o movimento relativo que a suspensão impõe.
Passo 4
Forma alternativa (normalizada) e interpretação física (útil para prova):
- É útil também escrever a relação de forma adimensional, usando a frequência natural
e o coeficiente de amortecimento adimensional . - Definindo a razão de frequência
, a amplitude relativa normalizada é Isto mostra diretamente efeitos: - se
(excitação muito lenta) então (massa segue quase rigidamente a base); - se
ocorrem picos relacionados a ressonância (se pequeno); - se
então (massa praticamente isolada pela mola).
- se
- Esta forma é muito usada em provas porque permite comparar regimes sem precisar de números absolutos — mas para um valor numérico final precisa-se de
e (ou de e ou ).
Passo 5
Aplicando os dados conhecidos na expressão e mostrando que falta informação:
- Do Passo 2 já temos
. - Da fórmula do Passo 3:
Aqui já posso substituir , e calculado. Mas a expressão ainda contém e , que NÃO foram dados no enunciado — portanto NÃO é possível obter um número final sem assumir e . - Para que você veja exatamente como prosseguir na prova: assim que tiver
e (ou e ), faça: - calcule
a partir da velocidade e do comprimento de onda (feito no Passo 2); - calcule
, e ; - calcule
pela fórmula acima e então .
- calcule
- Exemplo ilustrativo (NÃO faz parte da resposta oficial — é só para você entender o cálculo): suponha
e . Com esses valores (apenas como exemplo) obtemos aproximadamente . Isso mostra que a resposta pode ser bem maior que a amplitude da estrada. Mas reforço: esses e foram assumidos só para ilustrar — NÃO vieram do enunciado.
Resposta
Não é possível determinar numericamente
porque não foram fornecidos
e
. A expressão geral da amplitude estacionária é
com
,
e
.