Para o mesmo modelo anterior, considere que o veículo está se movendo em uma via que possui um comprimento de onda (distância entre picos) de 20 metros e amplitude de 0,08 metros. Para um amortecimento estimado em c_{s}=332[\mathrm{Ns} / \mathrm{m}], determine a amplitude da resposta estacionária do carro ( X_{s} ) se a velocidade do veículo for:
(b) 100[\mathrm{~km} / \mathrm{h}];

Passo 1

O que o enunciado dá e o que ele pede (identificação clara):
  • O enunciado fornece:
    • comprimento de onda da via: \lambda = 20\\ \mathrm{m} (distância entre picos);
    • amplitude da irregularidade da via (excitação): Y_{0}=0{,}08\\ \mathrm{m} — peguei esse valor do enunciado;
    • amortecimento do sistema (coeficiente viscoso): c_{s}=332\\ \mathrm{Ns/m} — peguei esse valor do enunciado;
    • velocidade do veículo (caso b): v=100\\ \mathrm{km/h}.
  • O que é pedido:
    • determinar a amplitude da resposta estacionária do carro, que chamaremos de X_{s}, quando o veículo trafega a 100\\ \mathrm{km/h}.
  • Informação que falta e que é necessária para obter um valor numérico:
    • NÃO foi fornecido pelo enunciado o valor da massa equivalente do carro m (ou massa por roda/quarto-car) nem a rigidez da suspensão k (ou a frequência natural \omega_{n}). Esses parâmetros são essenciais para calcular numericamente X_{s}.
  • Conclusão deste passo: tenho tudo para obter a frequência de excitação (da estrada) e a fórmula geral da amplitude estacionária, mas NÃO tenho dados suficientes para um número final sem m e k. Vou explicar a teoria, mostrar como calcular a frequência de excitação, deduzir a fórmula que dá X_{s} e, ao final, mostrar que falta m e k para obter um valor numérico. Também mostro um exemplo ilustrativo com valores assumidos para ver como se calcula na prática.

Passo 2

Converter a velocidade do veículo para a frequência de excitação (passo prático e obrigatório):
  • Primeiro converto a velocidade de \mathrm{km/h} para \mathrm{m/s}: v=\frac{100}{3{,}6}=27{,}777\ldots\\ \mathrm{m/s}\approx 27{,}78\\ \mathrm{m/s}.
  • A frequência de passagem pelas irregularidades (número de cristas por segundo) é a velocidade dividida pelo comprimento de onda: f=\frac{v}{\lambda}=\frac{27{,}777\ldots}{20}=1{,}388888\ldots\\ \mathrm{Hz}\approx 1{,}3889\\ \mathrm{Hz}.(Usei \lambda=20\\ \mathrm{m} que veio do enunciado.)
  • A frequência angular de excitação é \omega = 2\pi f \approx 2\pi\cdot 1{,}3889 \approx 8{,}7266\\ \mathrm{rad/s}.
  • Comentário didático curto: fisicamente, a estrada impõe uma excitação harmônica ao veículo com amplitude Y_{0} e frequência \omega. Essa é a entrada para o sistema massa-mola-amortecedor.

Passo 3

Modelo físico e equação de movimento (aula curta e intuitiva):
  • Considere o modelo clássico de um grau de liberdade (SDOF) para a massa suspensa (o “carro” ou quarto-car): massa m ligada a uma mola de rigidez k e a um amortecedor com coeficiente c. A base (rodovia) impõe um deslocamento harmônico y(t)=Y_{0}\sin(\omega t).
  • Defina x(t) como o deslocamento absoluto da massa (do carro) e z(t)=x(t)-y(t) como o deslocamento relativo mola/amortecedor em relação à base.
  • A equação do movimento em termos de z é (esta é a equação padrão para excitação de base): m\ddot{z} + c\dot{z} + k z = -\,m\ddot{y}(t).Aqui \ddot{y}(t) = -\omega^{2}Y_{0}\sin(\omega t).
  • Procura-se a solução estacionária (regime permanente) para resposta harmônica. O deslocamento relativo em regime permanente tem amplitude Z_{0} tal que Z_{0}=\frac{m\omega^{2}Y_{0}}{\sqrt{(k-m\omega^{2})^{2} + (c\omega)^{2}}}.Explicação das variáveis nesta fórmula:
    • m é a massa (kg);
    • k é a rigidez da suspensão (N/m);
    • c é o amortecimento fornecido (aqui c_{s}=332\\ \mathrm{Ns/m});
    • \omega é a frequência angular de excitação (rad/s), calculada no Passo 2;
    • Y_{0} é a amplitude da excitação da base (aqui 0{,}08\\ \mathrm{m});
    • Z_{0} é a amplitude do deslocamento relativo massa-base.
  • A amplitude absoluta da massa (do carro) em regime estacionário, que é o que normalmente se chama de amplitude da resposta do carro X_{s}, é a soma da amplitude da base com a amplitude relativa: X_{s} = Y_{0} + Z_{0}.Observação física: a massa tem um deslocamento absoluto composto pelo movimento da estrada mais o movimento relativo que a suspensão impõe.

Passo 4

Forma alternativa (normalizada) e interpretação física (útil para prova):
  • É útil também escrever a relação de forma adimensional, usando a frequência natural \omega_{n} = \sqrt{\dfrac{k}{m}} e o coeficiente de amortecimento adimensional \zeta = \dfrac{c}{2m\omega_{n}}.
  • Definindo a razão de frequência r=\dfrac{\omega}{\omega_{n}}, a amplitude relativa normalizada é \frac{Z_{0}}{Y_{0}}=\frac{r^{2}}{\sqrt{(1-r^{2})^{2} + (2\zeta r)^{2}}}.Isto mostra diretamente efeitos:
    • se r\ll 1 (excitação muito lenta) então Z_{0}/Y_{0}\approx r^{2}\to 0 (massa segue quase rigidamente a base);
    • se r\approx 1 ocorrem picos relacionados a ressonância (se \zeta pequeno);
    • se r\gg 1 então Z_{0}/Y_{0}\approx 1 (massa praticamente isolada pela mola).
  • Esta forma é muito usada em provas porque permite comparar regimes sem precisar de números absolutos — mas para um valor numérico final precisa-se de m e k (ou de \omega_{n} e m ou k).

Passo 5

Aplicando os dados conhecidos na expressão e mostrando que falta informação:
  • Do Passo 2 já temos \omega \approx 8{,}7266\\ \mathrm{rad/s}.
  • Da fórmula do Passo 3: X_{s} = Y_{0} + \frac{m\omega^{2}Y_{0}}{\sqrt{(k-m\omega^{2})^{2} + (c\omega)^{2}}}.Aqui já posso substituir Y_{0}=0{,}08\\ \mathrm{m}, c=332\\ \mathrm{Ns/m} e \omega calculado. Mas a expressão ainda contém m e k, que NÃO foram dados no enunciado — portanto NÃO é possível obter um número final sem assumir m e k.
  • Para que você veja exatamente como prosseguir na prova: assim que tiver m e k (ou \omega_{n} e m), faça:
    1. calcule \omega a partir da velocidade e do comprimento de onda (feito no Passo 2);
    2. calcule m\omega^{2}, k-m\omega^{2} e c\omega;
    3. calcule Z_{0} pela fórmula acima e então X_{s}=Y_{0}+Z_{0}.
  • Exemplo ilustrativo (NÃO faz parte da resposta oficial — é só para você entender o cálculo): suponha m=300\\ \mathrm{kg} e k=15000\\ \mathrm{N/m}. Com esses valores (apenas como exemplo) obtemos aproximadamente X_{s}\approx 0{,}299\\ \mathrm{m}. Isso mostra que a resposta pode ser bem maior que a amplitude da estrada. Mas reforço: esses m e k foram assumidos só para ilustrar — NÃO vieram do enunciado.

Resposta

Não é possível determinar numericamente X_{s} porque não foram fornecidos m e k. A expressão geral da amplitude estacionária é
X_{s}=Y_{0}+\frac{m\omega^{2}Y_{0}}{\sqrt{(k-m\omega^{2})^{2}+(c\omega)^{2}}},
com \omega=2\pi\cdot\frac{v}{\lambda}\approx 8{,}7266\\ \mathrm{rad/s}, Y_{0}=0{,}08\\ \mathrm{m} e c=332\\ \mathrm{Ns/m}.

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