(2, 0 pontos): Calcule área da região limitada R delimitada pela curva f(x)=clx^2 & , x <= 3 6 x-x^2 & , x>3, pelo eixo x e as retas x=1 e x=7.

Passo 1

O enunciado pede a área da região
pelo eixo e . Para resolver, vamos usar a definição de área como integral definida da função em partes, considerando mesmo a parte onde fica negativa (tomando o valor absoluto da área).

Passo 2

Precisamos dividir o intervalo [1,7] em subintervalos onde o comportamento de f muda. Há duas quebras:
– em x=3, muda a expressão de f;
– em x=6, 6x - x^2=0 troca de sinal.
Logo, trabalharemos em [1,3], [3,6] e [6,7].

Passo 3

A área total é a soma das áreas em cada subintervalo, com sinal trocado onde f<0. Assim,
Área = integral1^3 x^2,dx + integral3^6 (6x - x^2),dx + integral6^7 l[-(6x - x^2)r],dx Á

Passo 4

Calcular integral1^3 x^2,dx:
integral x^2,dx = x^33 Longrightarrow integral1^3 x^2,dx = x^33|1^3 = 273 - 13 = 263

Passo 5

Calcular integral3^6 (6x - x^2),dx:
integral (6x - x^2),dx = 3x^2 - x^33 Longrightarrow integral3^6 (6x - x^2),dx = l(108 - 72r) - l(27 - 9r) = 36 - 18 = 18

Passo 6

Calcular integral6^7 [x^2 - 6x],dx:
integral (x^2 - 6x),dx = x^33 - 3x^2 Longrightarrow integral6^7 (x^2 - 6x),dx = l(tfrac3433 - 147r) - l(72 - 108r) = -tfrac983 + 36 = tfrac103

Passo 7

Somando as três parcelas:
263 + 18 + 103 = 26 + 103 + 18 = 12 + 18 = 30

Resposta

A área da região R é 30.

Exercícios relacionados