Dois experimentos independentes foram realizados para estudar a propagação de um tipo de fungo nas folhas de plantas de feijão. A distribuição das plantas na área plantada é uniforme, com a mesma densidade em ambos os experimentos. No experimento A, inicialmente, 6 % das plantas estavam atacadas pelo fungo e, quatro semanas depois, o porcentual de plantas atacadas aumentou para 24 %. Já no experimento B, a observação iniciou-se com 11 % das plantas atacadas pelo fungo e, seis semanas depois, já eram 85 %.
Considere que o porcentual de plantas atacadas pelo fungo sempre cresce exponencialmente com o tempo até que toda a plantação seja atingida.
(a) Seja f(t) o porcentual de plantas atacadas pelo fungo, no experimento A, após t semanas do início. Calcule f(2) e determine quantos dias são necessários para que toda a plantação desse experimento seja atingida.
(b) Determine em qual dos dois experimentos a propagação do fungo ocorre mais rapidamente. (Em outras palavras, se ambos experimentos tivessem iniciado sob as mesmas condições, após um mesmo intervalo de tempo, em qual deles a plantação estaria mais atacada pelo fungo?)

Passo 1

O exercício analisa dois experimentos com propagação exponencial do fungo, com porcentuais iniciais e observados após certo número de semanas. Vamos modelar cada um por funções f(t)=f0,e^k t, determinar a constante de crescimento, calcular valores específicos e comparar as taxas.

Passo 2

Para o experimento A, temos f(0)=6% e f(4)=24%. Logo, a constante kA satisfaz
6,e^4kA=24implies kA=14lnl(246r)=14ln(4)

Passo 3

Com kA encontrado, calculamos f(2) por
f(2)=6,e^2kA=6,e^2cdot14ln(4)=6,e^12ln(4)=6cdotraiz4=12%

Passo 4

Para encontrar o tempo t até 100% de infecção, resolvemos
6,e^kA t=100implies t=1kAlnl(1006r)=4ln(4)lnl(1006r)approx8,11 semanas
Convertendo em dias: 8,11times7approx56,8 dias.

Passo 5

No experimento B, com f(0)=11% e f(6)=85%, a constante kB é dada por
11,e^6kB=85implies kB=16lnl(8511r)approx0,3407 por semana

Passo 6

Comparando as taxas, kAapprox0,3466 e kBapprox0,3407. Como kA>kB, o experimento A apresenta propagação mais rápida do fungo.

Resposta

f(2)=12%, são necessários cerca de 57 dias para atingir 100%, e o experimento A é o mais rápido.

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