Dois experimentos independentes foram realizados para estudar a propagação de um tipo de fungo nas folhas de plantas de feijão. A distribuição das plantas na área plantada é uniforme, com a mesma densidade em ambos os experimentos. No experimento
, inicialmente,
das plantas estavam atacadas pelo fungo e, quatro semanas depois, o porcentual de plantas atacadas aumentou para
. Já no experimento B, a observação iniciou-se com
das plantas atacadas pelo fungo e, seis semanas depois, já eram
.
Considere que o porcentual de plantas atacadas pelo fungo sempre cresce exponencialmente com o tempo até que toda a plantação seja atingida.
(a) Seja
o porcentual de plantas atacadas pelo fungo, no experimento A, após t semanas do início. Calcule
e determine quantos dias são necessários para que toda a plantação desse experimento seja atingida.
(b) Determine em qual dos dois experimentos a propagação do fungo ocorre mais rapidamente. (Em outras palavras, se ambos experimentos tivessem iniciado sob as mesmas condições, após um mesmo intervalo de tempo, em qual deles a plantação estaria mais atacada pelo fungo?)
(a) Seja
(b) Determine em qual dos dois experimentos a propagação do fungo ocorre mais rapidamente. (Em outras palavras, se ambos experimentos tivessem iniciado sob as mesmas condições, após um mesmo intervalo de tempo, em qual deles a plantação estaria mais atacada pelo fungo?)
Passo 1
O exercício analisa dois experimentos com propagação exponencial do fungo, com porcentuais iniciais e observados após certo número de semanas. Vamos modelar cada um por funções
, determinar a constante de crescimento, calcular valores específicos e comparar as taxas.
Passo 2
Para o experimento A, temos
e
. Logo, a constante
satisfaz
Passo 3
Com
encontrado, calculamos
por
Passo 4
Para encontrar o tempo
até 100% de infecção, resolvemos
Convertendo em dias:
Passo 5
No experimento B, com
e
, a constante
é dada por
Passo 6
Comparando as taxas,
e
. Como
, o experimento A apresenta propagação mais rápida do fungo.