Calcule as integrais indefinidas usando a técnica de substituição.
integral(3 x^2raiz[3]2-x^3) d x

Passo 1

A questão pede para calcular a integral indefinida integral 3x^2raiz[3]2 - x^3,dx usando substituição. O tema é integração por substituição, e vamos precisar reconhecer que a derivada de 2 - x^3 é proporcional a x^2.

Passo 2

Vamos fazer a substituição clássica. Definimos
u = 2 - x^3
Então calculamos a diferencial:
dnu = -3x^2,dx Longrightarrow 3x^2,dx = -dnu

Passo 3

Substituímos na integral original. Temos
integral 3x^2raiz[3]2 - x^3,dx = integral -dnuraiz[3]nu = -integral nu^-1/3,dnu

Passo 4

Agora integramos em nu. Lembrando que integral nu^m,dnu = nu^m+1/(m+1) se m neq -1:
-integral nu^-1/3,dnu = -nu^2/32/3 + C = -32,nu^2/3 + C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável x usando nu = 2 - x^3. A antiderivada é
-32,(2 - x^3)^2/3 + C

Resposta

-tfrac32,(2 - x^3)^2/3 + C

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