3- (2 pontos) Calcule
(a) d y / d x sabendo que \operatorname{tg}^{-1}\left(x^{2} y\right)=x+x y^{2} e;

Passo 1

O enunciado dá a equação
\operatorname{tg}^{-1}\bigl(x^{2}y\bigr)=x + x\,y^{2}
e pede \displaystyle \frac{dy}{dx}. O conteúdo aqui é diferenciação implícita, usando regra da cadeia para \operatorname{tg}^{-1}(u) e regra do produto em x\,y^{2}.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x:
– No lado esquerdo, com u=x^{2}y,
\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{tg}^{-1}(u)\bigr] =\frac{u'}{1+u^{2}} =\frac{2x\,y + x^{2}y'}{1+(x^{2}y)^{2}}.
– No lado direito,
\frac{d}{dx}\bigl[x + x\,y^{2}\bigr] =1 + \bigl(y^{2} + x\cdot 2y\,y'\bigr) =1 + y^{2} + 2x\,y\,y'.
Assim
\frac{2x\,y + x^{2}y'}{1+(x^{2}y)^{2}} =1 + y^{2} + 2x\,y\,y'.

Passo 3

Multiplicamos por 1+(x^{2}y)^{2} e agrupamos os termos que contêm y':
2x\,y + x^{2}y' =(1+(x^{2}y)^{2})\,(1+y^{2}+2x\,y\,y')
2x\,y + x^{2}y' =(1+(x^{2}y)^{2})(1+y^{2}) +2x\,y\,y'\,(1+(x^{2}y)^{2}).
Reescrevendo
x^{2}y' - 2x\,y\,y'\,(1+(x^{2}y)^{2}) =(1+(x^{2}y)^{2})(1+y^{2}) - 2x\,y.
Isolando y' resulta
y' =\frac{(1+(x^{2}y)^{2})(1+y^{2}) - 2x\,y} {x^{2} - 2x\,y\,(1+(x^{2}y)^{2})}.

Resposta

\frac{dy}{dx} =\frac{(1+(x^{2}y)^{2})(1+y^{2}) - 2x\,y} {x^{2} - 2x\,y\,(1+(x^{2}y)^{2})}.

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