5- (2 pontos) Calcule os máximos e mínimos da funçào f(x, y)=y^{3}+3 x^{2} y, caso eles existam.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos de máximo e mínimo da função
f(x,y)=y^{3}+3x^{2}y.
O conteúdo que vamos usar é cálculo de pontos críticos via derivadas parciais e classificação via teste da segunda derivada (Hessiano), complementando com análise de sinais quando o teste for inconclusivo.
Da segunda equação vem y^{2}+x^{2}=0, logo x=0 e y=0. Substituindo na primeira equação satisfaz-se automaticamente. Portanto o único ponto crítico é (0,0).