5- (2 pontos) Calcule os máximos e mínimos da funçào f(x, y)=y^{3}+3 x^{2} y, caso eles existam.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos de máximo e mínimo da função
f(x,y)=y^{3}+3x^{2}y.
O conteúdo que vamos usar é cálculo de pontos críticos via derivadas parciais e classificação via teste da segunda derivada (Hessiano), complementando com análise de sinais quando o teste for inconclusivo.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}=6xy, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=3y^{2}+3x^{2}.

Passo 3

Para encontrar pontos críticos, resolvemos o sistema
\begin{cases} 6xy=0,\\\\ 3y^{2}+3x^{2}=0. \end{cases}
Da segunda equação vem y^{2}+x^{2}=0, logo x=0 e y=0. Substituindo na primeira equação satisfaz-se automaticamente. Portanto o único ponto crítico é (0,0).

Passo 4

O Hessiano de f é
H(x,y)= \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\[6pt] f_{xy} & f_{yy} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6y & 6x\\[3pt] 6x & 6y \end{pmatrix}.
No ponto (0,0) temos f_{xx}=f_{yy}=f_{xy}=0 e o determinante
D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}=0.
O teste da segunda derivada é inconclusivo. Para classificar, estudamos trajetórias simples:
  • Se y=0, então f(x,0)=0 para todo x.
  • Se x=0, então f(0,y)=y^{3}, que é positiva para y>0 e negativa para y<0.
Isso mostra que em torno de (0,0) a função toma valores maiores e menores que 0, caracterizando um ponto de sela.]

Resposta

Não existem pontos de máximo ou mínimo; o único ponto crítico (0,0) é ponto de sela.

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