((4,0 pontos )) Calcule a derivada de cada função abaixo usando a regra de derivação adequada:
(f(x)=\frac{x{2}+1}{x{2}-1}).

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função racional
f(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}
usando a regra do quociente. O conteúdo envolvido é derivação de quociente de funções polinomiais.

Passo 2

Recordamos a regra do quociente: se u(x) e v(x) são diferenciáveis e v(x)\neq0, então
\biggl(\frac{u}{v}\biggr)'=\frac{u'\,v - u\,v'}{v^{2}}.

Passo 3

Identificamos
u(x)=x^{2}+1,\quad v(x)=x^{2}-1.
Derivando cada um:
u'(x)=2x,\quad v'(x)=2x.

Passo 4

Aplicamos a regra do quociente:
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}} =\frac{2x\,(x^{2}-1)-(x^{2}+1)\,2x}{(x^{2}-1)^{2}}.

Passo 5

No numerador, fatoramos 2x:
2x\bigl((x^{2}-1)-(x^{2}+1)\bigr) =2x\bigl(x^{2}-1-x^{2}-1\bigr) =2x(-2) =-4x.
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f'(x)=\frac{-4x}{(x^{2}-1)^{2}}.

Resposta

f'(x)=-\frac{4x}{(x^{2}-1)^{2}}.

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