((4,0 pontos )) Calcule a derivada de cada função abaixo usando a regra de derivação adequada:
(f(x)=\left(x{2}+20\right){25}).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x) = \bigl(x^{2}+20\bigr)^{25}.
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia, junto com a regra de potência e a derivada de uma soma.

Passo 2

Vamos identificar uma função interna e externa. Defina
u(x) = x^{2} + 20
e
g(u) = u^{25}.
Assim, f(x) = g\bigl(u(x)\bigr) e a regra da cadeia diz
f'(x) = g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).

Passo 3

Agora calculamos cada derivada separadamente:
A derivada de g(u)=u^{25} em relação a u é
g'(u) = 25\,u^{24},
e a derivada de u(x)=x^{2}+20 em relação a x é
u'(x) = 2x.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia, temos
f'(x) = g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x) = 25\bigl(u(x)\bigr)^{24}\cdot(2x) = 25\bigl(x^{2}+20\bigr)^{24}\cdot 2x.
Podemos simplificar o coeficiente 25\cdot2 para 50.

Resposta

f'(x) = 50\,x\bigl(x^{2}+20\bigr)^{24}.

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