(8 pontos)
Calcule F^{\prime}(x), onde
F(x)=\int_{x}^{1} \cos (\sqrt{t}) d t

Passo 1

O enunciado dá a função
F(x)=\int_{x}^{1}\cos(\sqrt{t})\,dt
e pede para calcular F^{\prime}(x). Informações relevantes que temos:
  • O integrando é \cos(\sqrt{t}).
  • A integral é tomada de t=x até t=1.
  • Isso define F(x) para valores de x em que \sqrt{t} e \cos(\sqrt{t}) fazem sentido dentro do intervalo de integração; em particular, considerando \sqrt{t} real, normalmente tomamos x\in[0,1].
  • A pergunta é apenas uma: encontrar a derivada F^{\prime}(x).

Passo 2

Antes de calcular, vamos lembrar (e entender) uma fórmula útil para derivar integrais com limites que dependem de x.
A versão básica do Teorema Fundamental do Cálculo nos diz que, se G(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt e f é contínua, então
G^{\prime}(x)=f(x).
Isso significa que derivar uma integral cujo limite superior é x nos devolve o integrando avaliado em x.

Passo 3

Agora a forma mais geral: se temos uma integral com limites que são funções de x,
H(x)=\int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\,dt,
então a Regra de Leibniz (que é uma extensão do Teorema Fundamental) dá
H^{\prime}(x)=f\big(v(x)\big)\,v^{\prime}(x)-f\big(u(x)\big)\,u^{\prime}(x).
Explicando cada parte: u(x) é o limite inferior, v(x) o limite superior, u^{\prime}(x) e v^{\prime}(x) são as derivadas desses limites; a fórmula soma a contribuição do limite superior (positivo) e subtrai a contribuição do limite inferior (porque aumentar o limite inferior diminui a região de integração).

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso F(x): aqui f(t)=\cos(\sqrt{t}), u(x)=x e v(x)=1. Então u^{\prime}(x)=1 e v^{\prime}(x)=0 (pois 1 é constante). Substituindo na fórmula de Leibniz:
F^{\prime}(x)=f\big(1\big)\cdot 0 - f\big(x\big)\cdot 1.

Passo 5

Como a primeira parcela é zero, sobra simplesmente a negativa do integrando avaliado em t=x. Ou seja,
F^{\prime}(x) = -\cos(\sqrt{x}).
Isso é intuitivo: aumentar x diminui o intervalo de integração, por isso o sinal negativo.

Passo 6

Verificação rápida (opcional, só para fixar): outra maneira é definir G(x)=\int_{0}^{x}\cos(\sqrt{t})\,dt. Então
F(x)=\int_{x}^{1}\cos(\sqrt{t})\,dt = G(1)-G(x).
Derivando, F^{\prime}(x)=0-G^{\prime}(x)=-\cos(\sqrt{x}), porque G^{\prime}(x)=\cos(\sqrt{x}) pelo Teorema Fundamental. Dá o mesmo resultado.

Resposta

-\cos(\sqrt{x})

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