(8 pontos)
Calcule
, onde
Calcule
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular
. Informações relevantes que temos:
- O integrando é
. - A integral é tomada de
até . - Isso define
para valores de em que e fazem sentido dentro do intervalo de integração; em particular, considerando real, normalmente tomamos . - A pergunta é apenas uma: encontrar a derivada
.
Passo 2
Antes de calcular, vamos lembrar (e entender) uma fórmula útil para derivar integrais com limites que dependem de
.
A versão básica do Teorema Fundamental do Cálculo nos diz que, se
e
é contínua, então
Isso significa que derivar uma integral cujo limite superior é
nos devolve o integrando avaliado em
.
Passo 3
Agora a forma mais geral: se temos uma integral com limites que são funções de
,
então a Regra de Leibniz (que é uma extensão do Teorema Fundamental) dá
Explicando cada parte:
é o limite inferior,
o limite superior,
e
são as derivadas desses limites; a fórmula soma a contribuição do limite superior (positivo) e subtrai a contribuição do limite inferior (porque aumentar o limite inferior diminui a região de integração).
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso
: aqui
,
e
. Então
e
(pois
é constante). Substituindo na fórmula de Leibniz:
Passo 5
Como a primeira parcela é zero, sobra simplesmente a negativa do integrando avaliado em
. Ou seja,
Isso é intuitivo: aumentar
diminui o intervalo de integração, por isso o sinal negativo.
Passo 6
Verificação rápida (opcional, só para fixar): outra maneira é definir
. Então
Derivando,
, porque
pelo Teorema Fundamental. Dá o mesmo resultado.