(8 pontos)
Calcule
\int \pi \operatorname{sen}(\pi x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \pi \operatorname{sen}(\pi x)\, dx.
Informações dadas: temos a função integranda \pi \operatorname{sen}(\pi x) e queremos uma primitiva (ou seja, uma função cuja derivada é \pi \operatorname{sen}(\pi x)). Não foi dada nenhuma condição inicial, então a solução terá uma constante de integração C.

Passo 2

Relembrando duas regras fundamentais que vamos usar (explicadas de forma simples):
  1. Regra do fator constante: se a é constante e f(x) é integrável, então
\int a\,f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx.
Isto significa que podemos “puxar para fora” a constante \pi se quisermos.
2. Integral da função seno composta: para k constante não nula,
\int \operatorname{sen}(k x)\,dx = -\frac{1}{k}\cos(k x)+C.
Por que isso vale? Porque pela regra da cadeia, a derivada de \cos(kx) é -\operatorname{sen}(kx)\cdot k. Então a derivada de -\frac{1}{k}\cos(kx) é \operatorname{sen}(kx). Essa é a ideia: integrar é “desfazer” a derivada.

Passo 3

Aplicando a regra do fator constante ao nosso integral, podemos escrever
\int \pi \operatorname{sen}(\pi x)\, dx = \pi \int \operatorname{sen}(\pi x)\, dx.
Aqui apenas identifiquei a constante \pi multiplicando a integral interna.

Passo 4

Para integrar \int \operatorname{sen}(\pi x)\,dx faço uma substituição simples (método padrão quando há uma composição \operatorname{sen}(k x)):
Defina
u=\pi x.
Então
du=\pi\,dx \quad\Rightarrow\quad dx=\frac{du}{\pi}.
Substituindo na integral interna:
\int \operatorname{sen}(\pi x)\,dx = \int \operatorname{sen}(u)\,\frac{du}{\pi} = \frac{1}{\pi}\int \operatorname{sen}(u)\,du.

Passo 5

Agora integro \int \operatorname{sen}(u)\,du. Sabemos que
\int \operatorname{sen}(u)\,du = -\cos(u)+C.
Portanto
\frac{1}{\pi}\int \operatorname{sen}(u)\,du = \frac{1}{\pi}\bigl(-\cos(u)\bigr)+C = -\frac{1}{\pi}\cos(u)+C.
Voltando à variável original x (lembrando que u=\pi x):
\int \operatorname{sen}(\pi x)\,dx = -\frac{1}{\pi}\cos(\pi x)+C.

Passo 6

Lembre que no Passo 3 tínhamos um fator \pi multiplicando essa integral. Multiplicando pelo fator \pi obtém-se:
\pi \int \operatorname{sen}(\pi x)\, dx = \pi\left(-\frac{1}{\pi}\cos(\pi x)+C\right).
Como \pi\cdot\bigl(-\tfrac{1}{\pi}\bigr) = -1 e \pi\cdot C é outra constante arbitrária (podemos renomear), o resultado é simplesmente
-\cos(\pi x)+C.

Passo 7

Verificação rápida (importante para a prova): derive a candidata F(x)=-\cos(\pi x)+C. Usando a regra da cadeia,
F'(x) = -\bigl(-\operatorname{sen}(\pi x)\bigr)\cdot \pi = \pi \operatorname{sen}(\pi x),
que é exatamente a integranda. Logo a primitiva está correta.

Resposta

-\cos(\pi x)+C

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