(8 pontos)
Calcule
Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: temos a função integranda
e queremos uma primitiva (ou seja, uma função cuja derivada é
). Não foi dada nenhuma condição inicial, então a solução terá uma constante de integração
.
Passo 2
Relembrando duas regras fundamentais que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Regra do fator constante: se
é constante e é integrável, então
Isto significa que podemos “puxar para fora” a constante
se quisermos.
2. Integral da função seno composta: para constante não nula,
2. Integral da função seno composta: para
Por que isso vale? Porque pela regra da cadeia, a derivada de
é
. Então a derivada de
é
. Essa é a ideia: integrar é “desfazer” a derivada.
Passo 3
Aplicando a regra do fator constante ao nosso integral, podemos escrever
Aqui apenas identifiquei a constante
multiplicando a integral interna.
Passo 4
Para integrar
faço uma substituição simples (método padrão quando há uma composição
):
Defina
Defina
Então
Substituindo na integral interna:
Passo 5
Agora integro
. Sabemos que
Portanto
Voltando à variável original
(lembrando que
):
Passo 6
Lembre que no Passo 3 tínhamos um fator
multiplicando essa integral. Multiplicando pelo fator
obtém-se:
Como
e
é outra constante arbitrária (podemos renomear), o resultado é simplesmente
Passo 7
Verificação rápida (importante para a prova): derive a candidata
. Usando a regra da cadeia,
que é exatamente a integranda. Logo a primitiva está correta.