(2,5 Pontos) Calcule o fluxo do campo vetorial
ao longo da superfície que faz a fronteira do sólido delimitado pelo pelo parabolíde
, e pelo plano
. Para o cálculo do fluxo, considere esta superfície com orientação positiva.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
pela superfície fechada que limita o sólido definido por
pela superfície fechada que limita o sólido
com orientação positiva (vetor normal apontando para fora).
O conteúdo principal aqui é o Teorema da Divergência, que nos permite trocar a integral de fluxo sobre a fronteira pela integral de divergência no volume.
O conteúdo principal aqui é o Teorema da Divergência, que nos permite trocar a integral de fluxo sobre a fronteira pela integral de divergência no volume.
Passo 2
Calculemos a divergência de
:
Passo 3
Pelo Teorema da Divergência, o fluxo de
pela superfície de
é
Logo basta calcular o volume do sólido.
Passo 4
Descrevemos
em coordenadas cilíndricas no plano
:
,
,
varia de
até
, e
vai de
até
. Assim
Integramos primeiro em
:
então
Passo 5
Calculemos a integral em
:
Portanto
Resposta
O fluxo de
pela superfície é
.