(2,5 Pontos) Calcule o fluxo do campo vetorial \vec{F}(x, y, z)=y \hat{j}-x \hat{k} ao longo da superfície que faz a fronteira do sólido delimitado pelo pelo parabolíde y=x^{2}+z^{2}, e pelo plano y=1. Para o cálculo do fluxo, considere esta superfície com orientação positiva.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \vec F(x,y,z)=y\,\hat\jmath - x\,\hat k
pela superfície fechada que limita o sólido V definido por
y = x^2 + z^2 \quad\text{e}\quad y = 1
com orientação positiva (vetor normal apontando para fora).
O conteúdo principal aqui é o Teorema da Divergência, que nos permite trocar a integral de fluxo sobre a fronteira pela integral de divergência no volume.

Passo 2

Calculemos a divergência de \vec F:
\nabla\cdot \vec F = \frac{\partial}{\partial x}(0) + \frac{\partial}{\partial y}(y) + \frac{\partial}{\partial z}(-x) = 0 + 1 + 0 = 1.

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo de \vec F pela superfície de V é
\iint_{\partial V} \vec F\cdot \mathbf n\,dS = \iiint_{V} (\nabla\cdot \vec F)\,dV = \iiint_{V} 1\,dV = \text{Vol}(V).
Logo basta calcular o volume do sólido.

Passo 4

Descrevemos V em coordenadas cilíndricas no plano xz: x = r\cos\theta, z = r\sin\theta, y varia de r^2 até 1, e r vai de 0 até 1. Assim
\text{Vol}(V) = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{1} \int_{y=r^2}^{1} r\,dy\,dr\,d\theta.
Integramos primeiro em y:
\int_{y=r^2}^{1}dy = 1 - r^2,
então
\text{Vol}(V) = \int_{0}^{2\pi}\!\!\!d\theta \int_{0}^{1} r\,(1 - r^2)\,dr = 2\pi \int_{0}^{1}\bigl(r - r^3\bigr)dr.

Passo 5

Calculemos a integral em r:
\int_{0}^{1}\bigl(r - r^3\bigr)dr = \left[\tfrac{r^2}{2} - \tfrac{r^4}{4}\right]_{0}^{1} = \tfrac12 - \tfrac14 = \tfrac14.
Portanto
\text{Vol}(V) = 2\pi \cdot \tfrac14 = \tfrac{\pi}{2}.

Resposta

O fluxo de \vec F pela superfície é \displaystyle \frac{\pi}{2}.

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