(2,5 Pontos) Calcule o fluxo do campo vetorial \vec{F}(x, y, z)=y \hat{j}-x \hat{k} ao longo da superfície que faz a fronteira do sólido delimitado pelo pelo parabolíde y=x^{2}+z^{2}, e pelo plano y=1. Para o cálculo do fluxo, considere esta superfície com orientação positiva.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo \vec{F}(x,y,z)=y\,\hat\jmath - x\,\hat k
através da superfície fechada que é a fronteira do sólido V definido por
y = x^2+z^2 \quad\text{e}\quad y=1,
com orientação positiva (isto é, vetor normal para fora de V).
Para superfícies fechadas, é mais eficiente usar o Teorema da Divergência (ou Gauss), que diz:
\iint_{\partial V}\vec F\cdot\hat n\,dS = \iiint_V \nabla\!\cdot\!\vec F\,dV.

Passo 2

Calculamos a divergência de \vec F.
\nabla\!\cdot\!\vec F = \frac{\partial}{\partial x}(0) + \frac{\partial}{\partial y}(y) + \frac{\partial}{\partial z}(-x) = 0 + 1 + 0 = 1.

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo total é
\iint_{\partial V}\vec F\cdot\hat n\,dS = \iiint_V 1\,dV = \text{Volume}(V).
O volume V é o sólido entre a parábola y=x^2+z^2 e o plano y=1.

Passo 4

Para calcular o volume, introduzimos coordenadas cilíndricas no plano xz:
x = r\cos\theta,\quad z = r\sin\theta,\quad 0\le r\le1,\quad 0\le\theta\le2\pi.
Em cada (r,\theta), y varia de y=r^2 até y=1. Assim
\text{Volume}(V) = \int_{\theta=0}^{2\pi}\!\int_{r=0}^1 \bigl(1-r^2\bigr)\,r\,dr\,d\theta.
Resolvendo o integral em r:
\int_{0}^{1}(1-r^2)\,r\,dr = \int_{0}^{1}(r - r^3)\,dr = \Bigl[\tfrac{r^2}{2}-\tfrac{r^4}{4}\Bigr]_0^1 = \tfrac12 - \tfrac14 = \tfrac14.
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\text{Volume}(V) = \int_{0}^{2\pi}\tfrac14\,d\theta = \tfrac14\cdot2\pi = \tfrac{\pi}{2}.

Resposta

\iint_{\partial V}\vec F\cdot\hat n\,dS = \frac{\pi}{2}.

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