(2,5 Pontos) Calcule o fluxo do campo vetorial
ao longo da superfície que faz a fronteira do sólido delimitado pelo pelo parabolíde
, e pelo plano
. Para o cálculo do fluxo, considere esta superfície com orientação positiva.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo
através da superfície fechada que é a fronteira do sólido definido por
através da superfície fechada que é a fronteira do sólido
com orientação positiva (isto é, vetor normal para fora de
).
Para superfícies fechadas, é mais eficiente usar o Teorema da Divergência (ou Gauss), que diz:
Para superfícies fechadas, é mais eficiente usar o Teorema da Divergência (ou Gauss), que diz:
Passo 2
Calculamos a divergência de
.
Passo 3
Pelo Teorema da Divergência, o fluxo total é
O volume
é o sólido entre a parábola
e o plano
.
Passo 4
Para calcular o volume, introduzimos coordenadas cilíndricas no plano
:
Em cada
,
varia de
até
. Assim
Resolvendo o integral em
:
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