(2,5 Pontos) Use a Teoria de Campos Conservativos para calcular o trabalho realizado pela campo vetorial
para mover uma partícula ao longo de um segmento de reta que liga o ponto
ao ponto
Passo 1
O enunciado pede o trabalho realizado pelo campo vetorial
ao mover uma partícula pelo segmento de reta de até
.
O conteúdo é teoria de campos conservativos: basta achar uma função potencial tal que
e usar a independência de trajetória.
ao mover uma partícula pelo segmento de reta de
O conteúdo é teoria de campos conservativos: basta achar uma função potencial
Passo 2
Verificamos que
é conservativo calculando o rotacional. Escrevendo
com
,
,
, temos
e
,
e
,
e
.
Como todas as componentes do rotacional são nulas, , logo
é conservativo em
.
Como todas as componentes do rotacional são nulas,
Passo 3
Procuramos
tal que
Integramos primeiro em :
Integramos primeiro em
Então
deve valer
,
logo . Integrando em
:
logo
Por fim,
deve ser
,
logo e
é constante irrelevante.
Portanto escolhemos
logo
Portanto escolhemos
Passo 4
O trabalho é
Calculando:
,
.
Logo
Logo