(2,5 Pontos) Use a Teoria de Campos Conservativos para calcular o trabalho realizado pela campo vetorial \vec{F}(x, y, z)=2 x y \hat{i}+\left(x^{2}+2 y z\right) \hat{j}+y^{2} \hat{k} para mover uma partícula ao longo de um segmento de reta que liga o ponto (2,-3,1) ao ponto (-5,1,2)

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado pelo campo vetorial \vec{F}(x,y,z)=2xy\,\hat{i}+\bigl(x^{2}+2yz\bigr)\,\hat{j}+y^{2}\,\hat{k}
ao mover uma partícula pelo segmento de reta de (2,-3,1) até (-5,1,2).
O conteúdo é teoria de campos conservativos: basta achar uma função potencial \varphi tal que \nabla\varphi=\vec F e usar a independência de trajetória.

Passo 2

Verificamos que \vec F é conservativo calculando o rotacional. Escrevendo \vec F=(P,Q,R) com P=2xy, Q=x^2+2yz, R=y^2, temos \partial P/\partial y=2x e \partial Q/\partial x=2x, \partial P/\partial z=0 e \partial R/\partial x=0, \partial Q/\partial z=2y e \partial R/\partial y=2y.
Como todas as componentes do rotacional são nulas, \nabla\times\vec F=\vec0, logo \vec F é conservativo em \mathbb{R}^3.

Passo 3

Procuramos \varphi(x,y,z) tal que \displaystyle\frac{\partial\varphi}{\partial x}=2xy,\quad \frac{\partial\varphi}{\partial y}=x^2+2yz,\quad \frac{\partial\varphi}{\partial z}=y^2.
Integramos primeiro em x:
\varphi(x,y,z)=\int 2xy\,dx=x^2y + h(y,z).
Então \displaystyle\frac{\partial\varphi}{\partial y}=x^2 + \frac{\partial h}{\partial y} deve valer x^2+2yz,
logo \partial h/\partial y=2yz. Integrando em y:
h(y,z)=\int 2yz\,dy=y^2z + g(z).
Por fim, \displaystyle\frac{\partial\varphi}{\partial z}=y^2 + g'(z) deve ser y^2,
logo g'(z)=0 e g é constante irrelevante.
Portanto escolhemos
\varphi(x,y,z)=x^2y + y^2z.

Passo 4

O trabalho é
W=\varphi\bigl(-5,1,2\bigr)-\varphi\bigl(2,-3,1\bigr).
Calculando: \varphi(-5,1,2)=(-5)^2\cdot1 + 1^2\cdot2 =25+2=27, \varphi(2,-3,1)=2^2\cdot(-3)+(-3)^2\cdot1 =-12+9=-3.
Logo
W=27 - (-3)=30.

Resposta

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