Utilizando seus conhecimentos de cálculo integral, se possivel, calcule \int_{-2 \pi}^{2 \pi} w \cos \left(\frac{1}{w}\right) d w.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{-2\pi}^{2\pi} w \,\cos\!\Bigl(\frac{1}{w}\Bigr)\,dw.
O conteúdo principal envolve integrais impróprias (pois há singularidade em w=0) e a propriedade de paridade de funções (ímpar/par). Vamos verificar primeiro a convergência e depois usar a simetria.

Passo 2

Analisando a região próxima a w=0, note que
\bigl|w\cos\bigl(\tfrac{1}{w}\bigr)\bigr|\le |w|,
e sabemos que
\int_{-\,\varepsilon}^{\varepsilon}|w|\,dw=\frac{\varepsilon^2}{2}<\infty.
Logo a integral imprópria converge (tanto do lado esquerdo quanto do direito de zero).

Passo 3

Defina f(w)=w\cos\!\bigl(\tfrac{1}{w}\bigr). Então
f(-w) = -w \,\cos\!\bigl(\tfrac{1}{-w}\bigr) = -w \,\cos\!\bigl(-\tfrac{1}{w}\bigr) = -w \,\cos\!\bigl(\tfrac{1}{w}\bigr) = -f(w),
ou seja, f é função ímpar.

Passo 4

Para qualquer função ímpar f integrável num intervalo simétrico [-a,a], vale
\int_{-a}^{a}f(w)\,dw = 0.
Aqui a=2\pi, logo
\int_{-2\pi}^{2\pi} w \,\cos\!\bigl(\tfrac{1}{w}\bigr)\,dw = 0.

Resposta

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