(2,0 pontos) Calcule \int_{0}^{1}\left(\sqrt{1-x^{2}}-x\right) d x interpretando-a em termos de áreas.

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int_{0}^{1}\bigl(\sqrt{1-x^{2}}-x\bigr)\,dx
interpretando em termos de áreas planas. Vamos separar em duas integrais: a área sob a curva y=\sqrt{1-x^{2}} de x=0 a x=1 e a área sob a reta y=x no mesmo intervalo.

Passo 2

A função y=\sqrt{1-x^{2}} no intervalo [0,1] descreve um quarto de círculo de raio 1. Assim,
\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^{2}}\,dx
é exatamente a área de um quarto de círculo, ou seja,
\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^{2}}\,dx = \frac{\pi\cdot1^{2}}{4} = \frac{\pi}{4}.

Passo 3

A reta y=x no intervalo [0,1] forma um triângulo retângulo com os eixos. Logo,
\int_{0}^{1}x\,dx
é a área desse triângulo de base 1 e altura 1, isto é,
\int_{0}^{1}x\,dx = \frac{1\cdot1}{2} = \frac{1}{2}.

Passo 4

Subtraindo a área do triângulo da área do quarto de círculo, obtemos
\int_{0}^{1}\bigl(\sqrt{1-x^{2}}-x\bigr)\,dx = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}.

Resposta

\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}

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