Calcule as integrais a seguir:
\int_{0}^{1} t\left(t^{2}+1\right)^{5} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{1} t\bigl(t^{2}+1\bigr)^{5}\,dt.
O conteúdo principal é a técnica de substituição (u-substituição) em integrais.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = t^{2}+1
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du = 2t\,dt \quad\Longrightarrow\quad t\,dt = \frac{1}{2}\,du.
Quando t=0, u=0^{2}+1=1.
Quando t=1, u=1^{2}+1=2.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u:
\int_{0}^{1} t\bigl(t^{2}+1\bigr)^{5}\,dt = \int_{u=1}^{u=2} \bigl(u\bigr)^{5} \cdot \frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int_{1}^{2} u^{5}\,du.

Passo 4

Calculamos a primitiva de u^{5}:
\int u^{5}\,du = \frac{u^{6}}{6}.
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\frac{1}{2}\int_{1}^{2} u^{5}\,du = \frac{1}{2}\cdot \frac{u^{6}}{6}\Bigg|_{1}^{2} = \frac{u^{6}}{12}\Bigg|_{1}^{2}.

Passo 5

Avaliando nos limites:
\frac{u^{6}}{12}\Bigg|_{1}^{2} = \frac{2^{6}}{12} - \frac{1^{6}}{12} = \frac{64}{12} - \frac{1}{12} = \frac{63}{12} = \frac{21}{4}.

Resposta

\frac{21}{4}.

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