Calcule as derivadas a seguir:
\frac{d}{d x} \int_{0}^{x^{4}} \cos \left(t^{2}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
F(x)=\int_{0}^{x^{4}}\cos\bigl(t^{2}\bigr)\,d t.
O conteúdo necessário é o Teorema Fundamental do Cálculo na forma de limite superior variável e a regra da cadeia.

Passo 2

O Teorema Fundamental do Cálculo estendido diz que, se
F(x)=\int_{a}^{g(x)}f(t)\,d t,
então
F'(x)=f\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x).

Passo 3

No nosso caso temos
f(t)=\cos\bigl(t^{2}\bigr), \quad g(x)=x^{4}, \quad g'(x)=4x^{3}.

Passo 4

Aplicando o teorema:
F'(x) =\cos\bigl((x^{4})^{2}\bigr)\cdot 4x^{3} =4x^{3}\cos\bigl(x^{8}\bigr).

Resposta

\frac{d}{d x}\int_{0}^{x^{4}}\cos\bigl(t^{2}\bigr)\,d t =4x^{3}\cos\bigl(x^{8}\bigr).

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