(5,0 pontos ) Calcule as integrais.
\int \frac{-x^{3}+2 x^{2}-x+1}{x(x^{2}+1)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{-x^{3}+2 x^{2}-x+1}{x(x^{2}+1)^{2}}\,dx.
Informações/condições dadas:
  • O integrando é uma função racional, isto é, quociente de polinômios.
  • O denominador fatorou-se (já está fatorado) como x e (x^{2}+1)^{2}.
  • A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, uma expressão cuja derivada é o integrando.

Passo 2

Estratégia (aqui eu só explico o plano, sem calcular): para integrar uma função racional cujo denominador se fatorou em fatores lineares e quadráticos irreduzíveis, o método padrão é decomposição em frações parciais. Vou escrever a decomposição adequada para o fator x (linear) e para o fator quadrático repetido (x^{2}+1)^{2}.

Passo 3

Decompondo em frações parciais: procuramos constantes A,B,C,D,E tais que
\frac{-x^{3}+2x^{2}-x+1}{x(x^{2}+1)^{2}} = \frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^{2}+1}+\frac{Dx+E}{(x^{2}+1)^{2}}.
Essa é a forma geral: para um fator linear \frac{A}{x} e, para cada potência do quadrático (x^{2}+1), termos do tipo \frac{Bx+C}{x^{2}+1} e \frac{Dx+E}{(x^{2}+1)^{2}}.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por x(x^{2}+1)^{2} para obter uma identidade polinomial no numerador:
-x^{3}+2x^{2}-x+1 = A(x^{2}+1)^{2} + (Bx+C)\,x(x^{2}+1) + (Dx+E)\,x.
Agora vamos expandir o lado direito termo a termo para comparar coeficientes.

Passo 5

Expandindo:
(x^{2}+1)^{2}=x^{4}+2x^{2}+1,
então
A(x^{2}+1)^{2}=A x^{4} + 2A x^{2} + A.
Também
(Bx+C)\,x(x^{2}+1) = (Bx+C)(x^3+x) = B x^{4} + B x^{2} + C x^{3} + C x.
E
(Dx+E)\,x = D x^{2} + E x.
Somando tudo obtemos o polinômio (coeficientes de cada potência):
(A+B) x^{4} + C x^{3} + (2A+B+D) x^{2} + (C+E) x + A.

Passo 6

Comparando coeficientes com o numerador à esquerda -x^{3}+2x^{2}-x+1\) (que tem coeficiente \(0\) para \(x^{4}\)), obtemos o sistema: \[\begin{cases} A + B = 0,\\[4pt] C = -1,\\[4pt] 2A + B + D = 2,\\[4pt] C + E = -1,\\[4pt] A = 1. \end{cases}
Explico: coeficiente de x^{4}\] dá \(A+B=0; de x^{3} C=-1; de x^{2} 2A+B+D=2; de x C+E=-1; termo constante dá A=1.]

Passo 7

Resolvendo o sistema:
  • De A=1 temos A=1.
  • De A+B=0 segue B=-A=-1.
  • De C=-1 temos C=-1.
  • De C+E=-1 e C=-1 segue E=0.
  • De 2A + B + D =2 substituindo A=1 e B=-1: 2\cdot1 + (-1) + D =2 implica 1+D=2, logo D=1.
Portanto os coeficientes são A=1, B=-1, C=-1, D=1, E=0.

Passo 8

Reescrevendo a decomposição com esses valores:
\frac{-x^{3}+2x^{2}-x+1}{x(x^{2}+1)^{2}} = \frac{1}{x}+\frac{-x-1}{x^{2}+1}+\frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}.
Para integrar, separamos a integral em três parcelas:
\int \frac{1}{x}\,dx + \int \frac{-x}{x^{2}+1}\,dx + \int \frac{-1}{x^{2}+1}\,dx + \int \frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx.
(Observe que quebrei \frac{-x-1}{x^{2}+1} em \frac{-x}{x^{2}+1}+\frac{-1}{x^{2}+1} porque cada parte tem técnica clara.)

Passo 9

Integramos termo a termo, explicando o porquê de cada técnica:
  1. Integral de \dfrac{1}{x}:
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C_1.
Essa é a primitiva padrão do recíproco.
  1. Integral de \dfrac{-x}{x^{2}+1}: usar substituição simples u=x^{2}+1, então du=2x\,dx, logo x\,dx=\dfrac{1}{2}du. Assim
\int \frac{-x}{x^{2}+1}\,dx = -\frac{1}{2}\int \frac{du}{u} = -\frac{1}{2}\ln u + C_2 = -\frac{1}{2}\ln(x^{2}+1) + C_2.
Explicação: quando o numerador é derivada (até constante) do denominador, a integral vira logaritmo.
  1. Integral de \dfrac{-1}{x^{2}+1}:
\int \frac{-1}{x^{2}+1}\,dx = -\arctan x + C_3.
Explicação: a primitiva padrão de \dfrac{1}{x^{2}+1} é \arctan x.
  1. Integral de \dfrac{x}{(x^{2}+1)^{2}}: novamente usar u=x^{2}+1, du=2x\,dx, logo
\int \frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{du}{u^{2}} = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{u}\right) + C_4 = -\frac{1}{2(x^{2}+1)} + C_4.
Explicação: \int u^{-2}du = -u^{-1}. Substituição simplifica o racional com potência elevada do quadrático.

Passo 10

Somando todas as parcelas (e agrupando as constantes de integração em uma só constante C), obtemos a primitiva completa:
\ln|x| - \frac{1}{2}\ln(x^{2}+1) - \arctan x - \frac{1}{2(x^{2}+1)} + C.
Se quiser, pode combinar os dois logaritmos em um só: \ln\!\big(\dfrac{|x|}{\sqrt{x^{2}+1}}\big), mas não é necessário.

Resposta

\ln|x| - \dfrac{1}{2}\ln(x^{2}+1) - \arctan x - \dfrac{1}{2(x^{2}+1)} + C

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