(5,0 pontos ) Calcule as integrais.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações/condições dadas:
- O integrando é uma função racional, isto é, quociente de polinômios.
- O denominador fatorou-se (já está fatorado) como
e . - A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, uma expressão cuja derivada é o integrando.
Passo 2
Estratégia (aqui eu só explico o plano, sem calcular): para integrar uma função racional cujo denominador se fatorou em fatores lineares e quadráticos irreduzíveis, o método padrão é decomposição em frações parciais. Vou escrever a decomposição adequada para o fator
(linear) e para o fator quadrático repetido
.
Passo 3
Decompondo em frações parciais: procuramos constantes
tais que
Essa é a forma geral: para um fator linear
e, para cada potência do quadrático
, termos do tipo
e
.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por
para obter uma identidade polinomial no numerador:
Agora vamos expandir o lado direito termo a termo para comparar coeficientes.
Passo 5
Expandindo:
então
Também
E
Somando tudo obtemos o polinômio (coeficientes de cada potência):
Passo 6
Comparando coeficientes com o numerador à esquerda
Explico: coeficiente de
; de
dá
; de
dá
; de
dá
; termo constante dá
.]
Passo 7
Resolvendo o sistema:
- De
temos . - De
segue . - De
temos . - De
e segue . - De
substituindo e : implica , logo .
Portanto os coeficientes são
,
,
,
,
.
Passo 8
Reescrevendo a decomposição com esses valores:
Para integrar, separamos a integral em três parcelas:
(Observe que quebrei
em
porque cada parte tem técnica clara.)
Passo 9
Integramos termo a termo, explicando o porquê de cada técnica:
- Integral de
:
Essa é a primitiva padrão do recíproco.
- Integral de
: usar substituição simples , então , logo . Assim
Explicação: quando o numerador é derivada (até constante) do denominador, a integral vira logaritmo.
- Integral de
:
Explicação: a primitiva padrão de
é
.
- Integral de
: novamente usar , , logo
Explicação:
. Substituição simplifica o racional com potência elevada do quadrático.
Passo 10
Somando todas as parcelas (e agrupando as constantes de integração em uma só constante
), obtemos a primitiva completa:
Se quiser, pode combinar os dois logaritmos em um só:
, mas não é necessário.