(
pontos) Determine se as integrais são convergentes ou divergentes.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a integral
é convergente ou divergente. Informações importantes que temos do enunciado:
- A função integrada é
. - O intervalo de integração é
(ou seja, os limites são e ). - A função apresenta problemas (singularidades) em dois pontos relevantes do intervalo:
- em
, porque quando e também o fator é singular; - em
, porque e, portanto, o denominador se anula em , gerando outra singularidade dentro do intervalo .
- em
- Por causa das singularidades devemos tratar a integral como imprópria, dividindo-a em subintervalos que evitem os pontos singulares e passando para limites.
Passo 2
Estratégia e definição precisa das integrais impróprias: vamos escrever
onde cada parcela é uma integral imprópria. Precisamos estudar a convergência de cada uma:
-
é imprópria por (e também por via ), então definimos -
é imprópria por (já que ), então definimos
Se qualquer um desses limites não existir (ou for infinito), a integral original diverge. Para avaliar ambos os limites, faremos a substituição natural
que simplifica o integrando.
Passo 3
Estudo de
usando
.
Fazendo a substituição
temos
. Quando
(com
) temos
. Quando
temos
. Portanto
Agora calculamos a primitiva de
. Como
, segue que
Assim
O termo
com
tende para
(porque
e o sinal é negativo), logo o valor da integral parcial tende a
. Portanto
ou seja, a integral
diverge (não converge para um número finito).
Observação didática curta: a substituição
é muito útil quando aparecem potências de
multiplicadas por
, porque
transforma-se diretamente em
, reduzindo o problema à análise de uma integral tipo
sobre um intervalo que contém
ou
.
Passo 4
Estudo de
usando a mesma substituição
.
Com
temos novamente
. Quando
(com
) temos
. Quando
temos
. Assim
Usando a primitiva já encontrada,
Agora fazemos o limite
, isto é,
. O termo
tende a
. Portanto
ou seja, a integral
também diverge (vai para
).
Passo 5
Conclusão final: como pelo menos uma das integrais impróprias que compõem
diverge (na verdade ambas divergem: a parte
diverge para
e a parte
diverge para
), a integral original não é convergente. Em linguagem direta: a integral diverge.
Resposta
Divergente