( \mathbf{5}, \mathbf{0} pontos) Determine se as integrais são convergentes ou divergentes.
\int_{c}^{a} \frac{1}{x(\ln x)^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral
\int_{0}^{5}\frac{1}{x(\ln x)^{3}}\,dx
é convergente ou divergente. Informações importantes que temos do enunciado:
  1. A função integrada é f(x)=\dfrac{1}{x(\ln x)^{3}}.
  2. O intervalo de integração é (0,5] (ou seja, os limites são 0 e 5).
  3. A função apresenta problemas (singularidades) em dois pontos relevantes do intervalo:
    • em x=0, porque \ln x\to -\infty quando x\to0^+ e também o fator 1/x é singular;
    • em x=1, porque \ln 1=0 e, portanto, o denominador se anula em x=1, gerando outra singularidade dentro do intervalo (0,5).
  4. Por causa das singularidades devemos tratar a integral como imprópria, dividindo-a em subintervalos que evitem os pontos singulares e passando para limites.

Passo 2

Estratégia e definição precisa das integrais impróprias: vamos escrever
\int_{0}^{5}\frac{1}{x(\ln x)^{3}}\,dx=\int_{0}^{1}\frac{1}{x(\ln x)^{3}}\,dx+\int_{1}^{5}\frac{1}{x(\ln x)^{3}}\,dx,
onde cada parcela é uma integral imprópria. Precisamos estudar a convergência de cada uma:
  • \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{1}{x(\ln x)^{3}}\,dx é imprópria por x\to0^+ (e também por x\to1^- via \ln x\to0), então definimos \int_{0}^{1}\frac{1}{x(\ln x)^{3}}\,dx=\lim_{s\to0^+}\int_{s}^{1}\frac{1}{x(\ln x)^{3}}\,dx.
  • \displaystyle\int_{1}^{5}\frac{1}{x(\ln x)^{3}}\,dx é imprópria por x\to1^+ (já que \ln x\to0^+), então definimos \int_{1}^{5}\frac{1}{x(\ln x)^{3}}\,dx=\lim_{t\to1^+}\int_{t}^{5}\frac{1}{x(\ln x)^{3}}\,dx.
Se qualquer um desses limites não existir (ou for infinito), a integral original diverge. Para avaliar ambos os limites, faremos a substituição natural u=\ln x que simplifica o integrando.

Passo 3

Estudo de \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{1}{x(\ln x)^{3}}\,dx usando u=\ln x.
Fazendo a substituição u=\ln x temos du=\dfrac{dx}{x}. Quando x=s (com s\to0^+) temos u=\ln s\to -\infty. Quando x=1 temos u=\ln 1=0. Portanto
\int_{s}^{1}\frac{1}{x(\ln x)^{3}}\,dx=\int_{\ln s}^{0}u^{-3}\,du.
Agora calculamos a primitiva de u^{-3}. Como \dfrac{d}{du}\big(u^{-2}\big)=-2u^{-3}, segue que
\int u^{-3}\,du=-\frac{1}{2}u^{-2} + C = -\frac{1}{2u^{2}}+C.
Assim
\int_{\ln s}^{0}u^{-3}\,du=\left[-\frac{1}{2u^{2}}\right]_{u=\ln s}^{u=0^-} =\lim_{\varepsilon\to0^-}\left(-\frac{1}{2\varepsilon^{2}}\right)-\left(-\frac{1}{2(\ln s)^{2}}\right).
O termo -\dfrac{1}{2\varepsilon^{2}} com \varepsilon\to0^- tende para -\infty (porque \varepsilon^{2}\to0^+ e o sinal é negativo), logo o valor da integral parcial tende a -\infty. Portanto
\lim_{s\to0^+}\int_{s}^{1}\frac{1}{x(\ln x)^{3}}\,dx = -\infty,
ou seja, a integral \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{1}{x(\ln x)^{3}}\,dx diverge (não converge para um número finito).
Observação didática curta: a substituição u=\ln x é muito útil quando aparecem potências de \ln x multiplicadas por 1/x, porque dx/x transforma-se diretamente em du, reduzindo o problema à análise de uma integral tipo \int u^{p}\,du sobre um intervalo que contém u=0 ou \pm\infty.

Passo 4

Estudo de \displaystyle\int_{1}^{5}\frac{1}{x(\ln x)^{3}}\,dx usando a mesma substituição u=\ln x.
Com u=\ln x temos novamente du=dx/x. Quando x=t (com t\to1^+) temos u=\ln t\to0^+. Quando x=5 temos u=\ln 5>0. Assim
\int_{t}^{5}\frac{1}{x(\ln x)^{3}}\,dx=\int_{\ln t}^{\ln 5}u^{-3}\,du.
Usando a primitiva já encontrada,
\int_{\ln t}^{\ln 5}u^{-3}\,du=\left[-\frac{1}{2u^{2}}\right]_{u=\ln t}^{u=\ln 5} = -\frac{1}{2(\ln 5)^{2}} -\left(-\frac{1}{2(\ln t)^{2}}\right) = -\frac{1}{2(\ln 5)^{2}}+\frac{1}{2(\ln t)^{2}}.
Agora fazemos o limite t\to1^+, isto é, \ln t\to0^+. O termo \dfrac{1}{2(\ln t)^{2}} tende a +\infty. Portanto
\lim_{t\to1^+}\int_{t}^{5}\frac{1}{x(\ln x)^{3}}\,dx = +\infty,
ou seja, a integral \displaystyle\int_{1}^{5}\frac{1}{x(\ln x)^{3}}\,dx também diverge (vai para +\infty).

Passo 5

Conclusão final: como pelo menos uma das integrais impróprias que compõem \displaystyle\int_{0}^{5}\frac{1}{x(\ln x)^{3}}\,dx diverge (na verdade ambas divergem: a parte (0,1) diverge para -\infty e a parte (1,5) diverge para +\infty), a integral original não é convergente. Em linguagem direta: a integral diverge.

Resposta

Divergente

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