(5,0 pontos ) Calcule as integrais.
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a integral indefinida
Informações dadas:
A pergunta é: qual é a primitiva (antiderivada) dessa função racional?
Passo 2
Observação importante (motivação): quando o grau do numerador é maior ou igual ao grau do denominador, é bom fazer divisão de polinômios para separar a integral em uma parte polinomial (fácil de integrar) e uma fração própria (grau do numerador menor que o do denominador), que tratamos por decomposição em frações parciais. Vamos fazer a divisão de
por
Divisão passo a passo:
- Dividimos o termo líder:
. Multiplicamos o divisor por :
- Subtraímos do numerador:
- Agora dividimos
pelo líder : dá . Multiplicamos o divisor por :
- Subtraímos:
Resultado da divisão: quociente
e resto
. Portanto
Passo 3
Agora trabalhamos a parte correta: fatorar o denominador da fração própria. Observamos que
Essa fatoração vem procurando dois números cuja soma é
(coeficiente de
) e produto
; são
e
, daí os fatores
.
Assim a integral fica
Passo 4
Vamos decompor a fração própria em frações parciais. Escrevemos
Multiplicando ambos os lados por
Expandindo:
Comparando coeficientes em
e constantes:
Resolvendo: da primeira
. Logo
Passo 5
Reescrevendo a integral com a decomposição:
Agora integramos termo a termo (linearidade da integral).
Passo 6
Lembrete das fórmulas usadas (aula curta):
- Para potências,
para . Aqui usaremos . - Para termos do tipo
, fazemos a substituição (ou sabemos diretamente) e obtemos .
Aplicando:
Somando tudo, a primitiva é
onde
é constante arbitrária.