(5,0 pontos ) Calcule as integrais.
\int \frac{3 x^{3}-5 x^{2}+2 x+7}{x^{2}-x-2} d x

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral indefinida
\int \frac{3x^{3}-5x^{2}+2x+7}{x^{2}-x-2}\,dx.
Informações dadas:
\text{numerador: }3x^{3}-5x^{2}+2x+7, \qquad \text{denominador: }x^{2}-x-2.
A pergunta é: qual é a primitiva (antiderivada) dessa função racional?

Passo 2

Observação importante (motivação): quando o grau do numerador é maior ou igual ao grau do denominador, é bom fazer divisão de polinômios para separar a integral em uma parte polinomial (fácil de integrar) e uma fração própria (grau do numerador menor que o do denominador), que tratamos por decomposição em frações parciais. Vamos fazer a divisão de
3x^{3}-5x^{2}+2x+7
por
x^{2}-x-2.
Divisão passo a passo:
  1. Dividimos o termo líder: \dfrac{3x^{3}}{x^{2}}=3x. Multiplicamos o divisor por 3x:
3x\cdot(x^{2}-x-2)=3x^{3}-3x^{2}-6x.
  1. Subtraímos do numerador:
(3x^{3}-5x^{2}+2x+7)-(3x^{3}-3x^{2}-6x) = -2x^{2}+8x+7.
  1. Agora dividimos -2x^{2} pelo líder x^{2}: dá -2. Multiplicamos o divisor por -2:
-2\cdot(x^{2}-x-2) = -2x^{2}+2x+4.
  1. Subtraímos:
(-2x^{2}+8x+7)-(-2x^{2}+2x+4) = 6x+3.
Resultado da divisão: quociente 3x-2 e resto 6x+3. Portanto
\frac{3x^{3}-5x^{2}+2x+7}{x^{2}-x-2}=3x-2+\frac{6x+3}{x^{2}-x-2}.

Passo 3

Agora trabalhamos a parte correta: fatorar o denominador da fração própria. Observamos que
x^{2}-x-2=(x-2)(x+1).
Essa fatoração vem procurando dois números cuja soma é -1 (coeficiente de x) e produto -2; são -2 e 1, daí os fatores (x-2)(x+1).
Assim a integral fica
\int \left(3x-2+\frac{6x+3}{(x-2)(x+1)}\right)dx.

Passo 4

Vamos decompor a fração própria em frações parciais. Escrevemos
\frac{6x+3}{(x-2)(x+1)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}.
Multiplicando ambos os lados por (x-2)(x+1)\) obtemos a identidade polinomial \[6x+3 = A(x+1)+B(x-2).
Expandindo:
6x+3 = (A+B)x + (A-2B).
Comparando coeficientes em x e constantes:
\begin{cases} A+B = 6,\\[4pt] A-2B = 3. \end{cases}
Resolvendo: da primeira A=6-B\]. Substituindo na segunda: \[(6-B)-2B=3 \implies 6-3B=3 \implies -3B=-3 \implies B=1.\] Então \(A=6-1=5. Logo
\frac{6x+3}{(x-2)(x+1)}=\frac{5}{x-2}+\frac{1}{x+1}.]

Passo 5

Reescrevendo a integral com a decomposição:
\int \frac{3x^{3}-5x^{2}+2x+7}{x^{2}-x-2}\,dx = \int\left(3x-2+\frac{5}{x-2}+\frac{1}{x+1}\right)dx.
Agora integramos termo a termo (linearidade da integral).

Passo 6

Lembrete das fórmulas usadas (aula curta):
  • Para potências, \displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1. Aqui usaremos n=1.
  • Para termos do tipo \dfrac{1}{x-a}, fazemos a substituição u=x-a (ou sabemos diretamente) e obtemos \displaystyle \int \frac{1}{x-a}\,dx=\ln|x-a|+C.
Aplicando:
\int 3x\,dx = 3\cdot\frac{x^{2}}{2}=\frac{3}{2}x^{2},
\int -2\,dx = -2x,
\int \frac{5}{x-2}\,dx = 5\ln|x-2|,
\int \frac{1}{x+1}\,dx = \ln|x+1|.
Somando tudo, a primitiva é
\frac{3}{2}x^{2}-2x+5\ln|x-2|+\ln|x+1|+C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

\frac{3}{2}x^{2}-2x+5\ln|x-2|+\ln|x+1|+C

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