(2 pontos) Calcule as integrais múltiplas a seguir:
integral0^1 integral2 x^2^1+x^2(x+1) d y d x;

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral iterada integral0^1integral2x^2^1+x^2(x+1),dy,dx. O conteúdo envolve integrais múltiplas e vamos usar a propriedade de integração iterada, integrando primeiro em y e depois em x.

Passo 2

Como x+1 é constante em relação a y, fazemos a integral interna:
integral2x^2^1+x^2(x+1),dy = (x+1)l[yr]2x^2^1+x^2 = (x+1)l((1+x^2)-2x^2r) = (x+1)(1 - x^2)

Passo 3

Agora temos
integral0^1(x+1)(1 - x^2),dx
Primeiro expandimos o integrando:
(x+1)(1 - x^2) = 1 + x - x^2 - x^3

Passo 4

Em seguida, integramos termo a termo em x:
integral0^1(1 + x - x^2 - x^3),dx = l[x + tfracx^22 - tfracx^33 - tfracx^44r]0^1

Passo 5

Finalmente, avaliamos em x=1 e x=0:
l(1 + tfrac12 - tfrac13 - tfrac14r) - (0) = 1 + tfrac12 - tfrac13 - tfrac14 = tfrac1112

Resposta

dfrac1112

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