( 4,0 pontos) Calcule as integrais a seguir:
integral x^2+1x^3-5 x^2+8 x-4 d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral de uma função racional, ou seja, integral x^2+1x^3-5x^2+8x-4,dx. O conteúdo principal é decomposição em frações parciais, e vamos precisar: fatorar o denominador, escrever a soma de termos simples e integrar cada parte.

Passo 2

Primeiro a gente fatora o denominador x^3-5x^2+8x-4. Testando x=1 vemos que é raiz, então dividimos por (x-1) e obtemos:
x^3-5x^2+8x-4=(x-1)(x^2-4x+4)=(x-1)(x-2)^2

Passo 3

Agora escrevemos a decomposição em frações parciais:
x^2+1(x-1)(x-2)^2=Ax-1+Bx-2+C(x-2)^2
Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x-2)^2 fica
x^2+1=A(x-2)^2+B(x-1)(x-2)+C(x-1)

Passo 4

Expandindo e igualando coeficientes em x^2+0x+1 obtemos o sistema:
A+B=1, -4A-3B+C=0, 4A+2B- C=1
Resolvendo, achamos A=2, B=-1 e C=5. Logo
x^2+1(x-1)(x-2)^2=2x-1-1x-2+5(x-2)^2

Passo 5

Finalmente integramos termo a termo:
integral2x-1,dx=2ln|x-1|, integrall(-1x-2r)dx=-ln|x-2|, integral5(x-2)^2,dx=5integral(x-2)^-2dx=-5x-2
Somando tudo, obtemos a primitiva da função.

Passo 6

Juntando os resultados, a antiderivada geral é
2ln|x-1|-ln|x-2|-5x-2+C

Resposta

2\ln|x-1|-\ln|x-2|-\frac{5}{x-2}+C

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