(Problema de Dirichlet para a Equação de Laplace no Disco) Resolva os seguintes problemas:
© ur r+1r ur+1r^2 utheta theta=0 & se 0

Passo 1

A questão pede para resolver o problema de Dirichlet para a equação de Laplace no disco de raio R, ou seja, achar u(r,θ) satisfazendo u_{rr} + (1/r) u_r + (1/r^2) u_{θθ} = 0 em 0<r<R, 0<θ<2π, com a condição de contorno u(R,θ) = tfrac12(π - θ). Vamos usar séries de Fourier em θ e separação de variáveis.

Passo 2

Em problemas em coordenadas polares, a solução geral regular no disco é dada pela expansão em autovalores angulares. Escrevemos
u(r,θ) = a02 + sumn=1^infty l(rRr)^n l[an cos(nθ) + bn sin(nθ)r]
Os coeficientes a_n e b_n são dados pelas fórmulas de Fourier de f(θ)=u(R,θ)= tfrac12(π-θ):
an = 1pi integral0^2π f(θ)cos(nθ),dθ, bn = 1pi integral0^2π f(θ)sin(nθ),dθ,
e o termo constante a_0 vem de a_0 = (1/π)∫_0^{2π} f(θ) dθ.

Passo 3

Vamos calcular a_0:
a0 = 1pi integral0^2π tfrac12(π - θ),dθ = 12π l[πθ - tfracθ^22r]0^2π = 12π(2π^2 - 2π^2) = 0
Logo, o termo constante some. Agora, para a_n:
an = 1pi integral0^2π tfrac12(π - θ)cos(nθ),dθ = 0,
pois cada integral (de π cos nθ e de θ cos nθ) anula-se por simetria e integrações por partes.

Passo 4

Por fim, para b_n fazemos:
bn = 1pi integral0^2π tfrac12(π - θ)sin(nθ),dθ
Separando, a parte com π sin(nθ) também dá zero e a parte com θ sin(nθ) por integração por partes rende b_n = 1/n. Assim, a única contribuição é dos termos senoidais com coeficiente 1/n.

Passo 5

Portanto, a solução fica
u(r,θ) = sumn=1^infty r^nR^n1nsin(nθ)

Resposta

u(r,θ) = \sum_{n=1}^\infty \frac{rn}{n,Rn},\sin(nθ).

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