(Problema de Dirichlet para a Equação de Laplace no Disco) Resolva os seguintes problemas:
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Passo 1
A questão pede para resolver o problema de Dirichlet para a equação de Laplace no disco de raio R, ou seja, achar u(r,θ) satisfazendo u_{rr} + (1/r) u_r + (1/r^2) u_{θθ} = 0 em 0<r<R, 0<θ<2π, com a condição de contorno u(R,θ) =
. Vamos usar séries de Fourier em θ e separação de variáveis.
Passo 2
Em problemas em coordenadas polares, a solução geral regular no disco é dada pela expansão em autovalores angulares. Escrevemos
Os coeficientes a_n e b_n são dados pelas fórmulas de Fourier de f(θ)=u(R,θ)=
:
e o termo constante a_0 vem de a_0 = (1/π)∫_0^{2π} f(θ) dθ.
Passo 3
Vamos calcular a_0:
Logo, o termo constante some. Agora, para a_n:
pois cada integral (de π cos nθ e de θ cos nθ) anula-se por simetria e integrações por partes.
Passo 4
Por fim, para b_n fazemos:
Separando, a parte com π sin(nθ) também dá zero e a parte com θ sin(nθ) por integração por partes rende b_n = 1/n. Assim, a única contribuição é dos termos senoidais com coeficiente 1/n.
Passo 5
Portanto, a solução fica
Resposta
u(r,θ) = \sum_{n=1}^\infty \frac{rn}{n,Rn},\sin(nθ).