(2.0 pontos) Calcule a integral de fluxo de \vec{F}=4 x \vec{i}+4 y \vec{j}+z \vec{k} sobre a superfície cortada do fundo do paraboloide z=x^{2}+y^{2} pelo plano \mathrm{z}=4.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo da campo vetorial \vec{F}=4x\,\vec{i}+4y\,\vec{j}+z\,\vec{k} através da superfície do paraboloide \,z=x^{2}+y^{2}\, cortada pelo plano \,z=4. Informação importante que temos:
  • A superfície solicitada é a parte do paraboloide limitada pela interseção com o plano \,z=4, ou seja o conjunto de pontos com \,x^{2}+y^{2}\le 4 e z=x^{2}+y^{2}.
  • O campo vetorial é \vec{F}(x,y,z)=(4x,\,4y,\,z).
  • O enunciado não especifica orientação; adotaremos a orientação do tipo “para fora” do volume encerrado pelo paraboloide e pelo plano (convenção usual para aplicação do Teorema da Divergência).
    A tarefa é calcular a integral de fluxo (isto é, \iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS) sobre essa superfície curva do paraboloide.

Passo 2

Por que usar o Teorema da Divergência? Vou explicar de forma simples. O Teorema da Divergência diz que, se \,V é um volume limitado por uma superfície fechada \partial V com normal apontando para fora, então
\iint_{\partial V}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS=\iiint_{V}\operatorname{div}\vec{F}\,dV.
Aqui nossa superfície do paraboloide não é fechada sozinha, mas ela delimita junto com o disco plano em \,z=4 um volume V. Então fechamos a superfície adicionando o disco no topo, aplicamos o teorema para o fechamento e depois subtraímos o fluxo através do disco para obter somente o fluxo pela superfície do paraboloide. Esse procedimento costuma simplificar muito o cálculo porque transforma uma integral de superfície complicada numa integral de volume mais simples.

Passo 3

Calcular a divergência de \vec{F}. A divergência é a soma das derivadas parciais das componentes:
\operatorname{div}\vec{F}=\frac{\partial}{\partial x}(4x)+\frac{\partial}{\partial y}(4y)+\frac{\partial}{\partial z}(z).
Agora computamos cada derivada:
\frac{\partial}{\partial x}(4x)=4,\qquad \frac{\partial}{\partial y}(4y)=4,\qquad \frac{\partial}{\partial z}(z)=1.
Portanto
\operatorname{div}\vec{F}=4+4+1=9.

Passo 4

Calcular o volume V entre o paraboloide z=r^{2} (usei coordenadas cilíndricas com r^{2}=x^{2}+y^{2}) e o plano z=4. Em coordenadas cilíndricas:
  • r varia de 0 a 2 (pois r^{2}=4\Rightarrow r=2),
  • \theta varia de 0 a 2\pi,
  • z varia de r^{2} a 4.
    O elemento de volume é dV=r\,dz\,dr\,d\theta. Então
\operatorname{Vol}(V)=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{r^{2}}^{4} r\,dz\,dr\,d\theta.
Primeiro integramos em z:
\int_{r^{2}}^{4} r\,dz = r\bigl[z\bigr]_{z=r^{2}}^{z=4}=r(4-r^{2}).
Agora integramos em r e \theta:
\operatorname{Vol}(V)=\int_{0}^{2\pi}\left(\int_{0}^{2} r(4-r^{2})\,dr\right)d\theta.
Calcule a integral em r:
\int_{0}^{2} r(4-r^{2})\,dr=\int_{0}^{2}(4r-r^{3})\,dr=\left[2r^{2}-\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{2}.
Avaliação em r=2:
2\cdot 2^{2}-\frac{2^{4}}{4}=2\cdot 4-\frac{16}{4}=8-4=4.
Portanto
\operatorname{Vol}(V)=\int_{0}^{2\pi}4\,d\theta=4\cdot 2\pi=8\pi.

Passo 5

Aplicar o Teorema da Divergência ao volume fechado (paraboloide + disco no topo). Como \operatorname{div}\vec{F}=9 é constante,
\iint_{\partial V}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS=\iiint_{V}9\,dV=9\cdot\operatorname{Vol}(V)=9\cdot 8\pi=72\pi.
Aqui \partial V é a superfície fechada composta pela superfície curva do paraboloide (que chamarei S_{\text{par}}) mais o disco plano no topo (que chamarei S_{\text{top}}). Assim
\iint_{S_{\text{par}}}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS+\iint_{S_{\text{top}}}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS=72\pi.

Passo 6

Calcular o fluxo através do disco superior S_{\text{top}} (plano z=4, raio 2). Para a superfície plana z=4 com normal para fora do volume, a normal é \vec{n}=\vec{k} (unitária no sentido +z). No disco temos z=4, então \vec{F}=(4x,4y,4) em cada ponto do disco. O produto escalar é
\vec{F}\cdot\vec{n}= (4x,4y,4)\cdot(0,0,1)=4.
Logo o fluxo através do disco é simplesmente 4 vezes a área do disco:
\iint_{S_{\text{top}}}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS = 4\cdot\text{Área do disco} = 4\cdot \pi\cdot 2^{2}=4\cdot 4\pi=16\pi.Á

Passo 7

Isolar o fluxo através do paraboloide. Usando a soma encontrada no Passo 5:
\iint_{S_{\text{par}}}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS = 72\pi - \iint_{S_{\text{top}}}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS = 72\pi - 16\pi = 56\pi.
Portanto o fluxo pedido (com a orientação “para fora” do volume) vale 56\pi.

Resposta

56\pi

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