(2.0 pontos) Calcule a integral de fluxo de
sobre a superfície cortada do fundo do paraboloide
pelo plano
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo da campo vetorial
através da superfície do paraboloide
cortada pelo plano
. Informação importante que temos:
- A superfície solicitada é a parte do paraboloide limitada pela interseção com o plano
, ou seja o conjunto de pontos com e . - O campo vetorial é
. - O enunciado não especifica orientação; adotaremos a orientação do tipo “para fora” do volume encerrado pelo paraboloide e pelo plano (convenção usual para aplicação do Teorema da Divergência).
A tarefa é calcular a integral de fluxo (isto é,) sobre essa superfície curva do paraboloide.
Passo 2
Por que usar o Teorema da Divergência? Vou explicar de forma simples. O Teorema da Divergência diz que, se
é um volume limitado por uma superfície fechada
com normal apontando para fora, então
Aqui nossa superfície do paraboloide não é fechada sozinha, mas ela delimita junto com o disco plano em
um volume
. Então fechamos a superfície adicionando o disco no topo, aplicamos o teorema para o fechamento e depois subtraímos o fluxo através do disco para obter somente o fluxo pela superfície do paraboloide. Esse procedimento costuma simplificar muito o cálculo porque transforma uma integral de superfície complicada numa integral de volume mais simples.
Passo 3
Calcular a divergência de
. A divergência é a soma das derivadas parciais das componentes:
Agora computamos cada derivada:
Portanto
Passo 4
Calcular o volume
entre o paraboloide
(usei coordenadas cilíndricas com
) e o plano
. Em coordenadas cilíndricas:
-
varia de a (pois ), -
varia de a , -
varia de a .
O elemento de volume é. Então
Primeiro integramos em
:
Agora integramos em
e
:
Calcule a integral em
:
Avaliação em
:
Portanto
Passo 5
Aplicar o Teorema da Divergência ao volume fechado (paraboloide + disco no topo). Como
é constante,
Aqui
é a superfície fechada composta pela superfície curva do paraboloide (que chamarei
) mais o disco plano no topo (que chamarei
). Assim
Passo 6
Calcular o fluxo através do disco superior
(plano
, raio
). Para a superfície plana
com normal para fora do volume, a normal é
(unitária no sentido
). No disco temos
, então
em cada ponto do disco. O produto escalar é
Logo o fluxo através do disco é simplesmente
vezes a área do disco:
Passo 7
Isolar o fluxo através do paraboloide. Usando a soma encontrada no Passo 5:
Portanto o fluxo pedido (com a orientação “para fora” do volume) vale
.