( 2.0 pontos) Verifique ambas as partes do teorema de Green para o campo
e a região D delimitada pela elipse
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e a região
delimitada pela elipse
Pede para verificar ambas as partes do teorema de Green, ou seja:
- verificar a igualdade entre a integral de linha
e a integral dupla ; e - verificar a igualdade entre a integral de fluxo
e a integral dupla ,
ondee , e é a fronteira da elipse orientada positivamente (contra-horário).
Passo 2
Vou expor as fórmulas que vamos usar (aqui te explico o que cada símbolo significa, devagarinho):
Nessa fórmula,
é a forma que aparece na integral de linha do campo tangencial (circulação) e
é o rotacional escalar (a “taxa de rotação” do campo).
Nessa segunda fórmula, a integral de linha do lado esquerdo dá a componente normal do campo atravessando a fronteira (fluxo para fora), e o integrando da dupla é a divergência
(a “taxa de criação” de campo por unidade de área).
Agora vamos calcular explicitamente os dois lados de cada igualdade e mostrar que coincidem.
Agora vamos calcular explicitamente os dois lados de cada igualdade e mostrar que coincidem.
Passo 3
Calcule as derivadas parciais necessárias para a parte da circulação:
Então
Portanto o integrando da integral dupla (rotacional) é
Passo 4
Agora calcule a integral dupla do rotacional sobre
. A função a integrar é constante igual a
, portanto
A área de uma elipse dada por
é
. Aqui
e
, logo
Portanto
(Ufa — já temos o valor esperado do lado direito da igualdade da circulação.)
Passo 5
Agora calcule diretamente a integral de linha
parametrizando a elipse. Use a parametrização padrão da elipse com orientação contra-horário:
Então
Substituindo em
:
Simplificando termo a termo:
Somando:
Observe que
, então integrando de
a
:
A função
é proporcional a
(
), cuja integral em um período completo é zero. Assim
Logo
que coincide com a integral dupla do Passo 4. Assim a primeira parte do teorema de Green está verificada.
Passo 6
Agora verificamos a parte de fluxo/divergência. Calcule a divergência:
Portanto a integral dupla é simplesmente a área de
:
Passo 7
Calcule agora a integral de linha correspondente ao fluxo:
Usando a mesma parametrização
e
, substituímos:
Simplificando:
Somando:
Integramos de
a
. O termo com
tem integral zero em um período, e
pois
. Assim
que coincide com o valor da integral dupla do Passo 6. Portanto a segunda parte do teorema de Green também está verificada.