(1.0 ponto) Calcule \int_{S} \int \vec{F} \overrightarrow{d S} se \vec{F}(x, y, z)=3 x \vec{i}+x e^{z} \vec{j}+x^{3} \operatorname{cosh} (x y) \vec{k} e S é a superfície do sólido delimitado pelo cilindro \mathrm{y}^{2}+\mathrm{z}^{2}=1 e pelos planos \mathrm{x}=-1 e x =2 (Sugestão: Que teorema permite transformar uma integral de superfície em uma integral de volume?).
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de fluxo
e S é a superfície fechada do sólido limitado pelo cilindro \;y^{2}+z^{2}=1\; e pelos planos \;x=-1\; e \;x=2\;.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\begin{aligned} &\text{Campo: }\vec{F}(x,y,z)=3x\,\vec{i}+x e^{z}\,\vec{j}+x^{3}\operatorname{cosh}(xy)\,\vec{k},\\\ &\text{Superfície }S:\text{ superfície fechada do sólido }V\text{ definido por }y^{2}+z^{2}\le 1,\; -1\le x\le 2. \end{aligned}ííó
O que é pedido: o fluxo total de \vec{F} através de S, ou seja, a integral de superfície fechada \iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec S.
Passo 2
Escolha do método: o enunciado sugere transformar a integral de superfície numa integral de volume. O teorema que faz isso é o Teorema da Divergência (também chamado de Teorema de Gauss). Vou usá‑lo porque parametrizar a superfície (a parte cilíndrica mais as duas tampas planas) é trabalhosa; pelo Teorema da Divergência podemos calcular uma integral tripla sobre o volume V. Além disso, neste problema a divergência de \vec{F} ficará muito simples (constant), o que torna o cálculo direto e rápido — ideal para prova.
Passo 3
Enunciado do Teorema da Divergência e interpretação das quantidades:
Multiplicando pelo fator 3 que vem da divergência:
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec S = 3 \times 3\pi = 9\pi.
Passo 7
Interpretação final e motivação: o cálculo ficou simples porque a divergência era constante (3), transformando a integral de fluxo em 3 vezes o volume do cilindro. Em provas, sempre que o campo permitir (divergência simples) e a superfície for fechada, o Teorema da Divergência costuma ser o caminho mais rápido. Você consegue! 😉