(1.0 ponto) Calcule \int_{S} \int \vec{F} \overrightarrow{d S} se \vec{F}(x, y, z)=3 x \vec{i}+x e^{z} \vec{j}+x^{3} \operatorname{cosh} (x y) \vec{k} e S é a superfície do sólido delimitado pelo cilindro \mathrm{y}^{2}+\mathrm{z}^{2}=1 e pelos planos \mathrm{x}=-1 e x =2 (Sugestão: Que teorema permite transformar uma integral de superfície em uma integral de volume?).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de fluxo
\iint_{S}\vec{F}\cdot \overrightarrow{dS}
onde a campo vetorial é
\vec{F}(x,y,z)=3x\,\vec{i}+x e^{z}\,\vec{j}+x^{3}\operatorname{cosh}(xy)\,\vec{k}
e S é a superfície fechada do sólido limitado pelo cilindro \;y^{2}+z^{2}=1\; e pelos planos \;x=-1\; e \;x=2\;.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\begin{aligned} &\text{Campo: }\vec{F}(x,y,z)=3x\,\vec{i}+x e^{z}\,\vec{j}+x^{3}\operatorname{cosh}(xy)\,\vec{k},\\\ &\text{Superfície }S:\text{ superfície fechada do sólido }V\text{ definido por }y^{2}+z^{2}\le 1,\; -1\le x\le 2. \end{aligned}ííó
O que é pedido: o fluxo total de \vec{F} através de S, ou seja, a integral de superfície fechada \iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec S.

Passo 2

Escolha do método: o enunciado sugere transformar a integral de superfície numa integral de volume. O teorema que faz isso é o Teorema da Divergência (também chamado de Teorema de Gauss). Vou usá‑lo porque parametrizar a superfície (a parte cilíndrica mais as duas tampas planas) é trabalhosa; pelo Teorema da Divergência podemos calcular uma integral tripla sobre o volume V. Além disso, neste problema a divergência de \vec{F} ficará muito simples (constant), o que torna o cálculo direto e rápido — ideal para prova.

Passo 3

Enunciado do Teorema da Divergência e interpretação das quantidades:
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec S=\iiint_{V}\operatorname{div}\vec{F}\;dV.
Aqui \operatorname{div}\vec{F} é a divergência do campo, definida por
\operatorname{div}\vec{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z},
onde F_x, F_y, F_z são as componentes de \vec{F} nas direções \vec{i},\vec{j},\vec{k}. A variável dV é o elemento de volume do sólido V.

Passo 4

Calcule a divergência de \vec{F} passo a passo:
F_x=3x,\qquad F_y=x e^{z},\qquad F_z=x^{3}\operatorname{cosh}(xy).
Derivando:
\frac{\partial F_x}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(3x)=3.
\frac{\partial F_y}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x e^{z}\big)=0,
porque x e^{z} não depende de y (dependência em x e z apenas).
\frac{\partial F_z}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(x^{3}\operatorname{cosh}(xy)\big)=0,
porque x^{3}\operatorname{cosh}(xy) não depende de z (dependência em x e y apenas).
Portanto
\operatorname{div}\vec{F}=3+0+0=3.
Observação: obter divergência constante simplifica muito a integral tripla.

Passo 5

Escreva a integral tripla usando coordenadas adequadas e os limites do volume V.
O sólido V é o cilindro de raio 1 no plano yz e altura em x de -1 até 2. É natural usar coordenadas cilíndricas apenas no plano y,z: definimos
y=r\cos\theta,\qquad z=r\sin\theta,\qquad 0\le r\le 1,\qquad 0\le \theta\le 2\pi,
enquanto x varia entre -1 e 2. O elemento de volume em termos de r,\theta,x é dV=r\,dr\,d\theta\,dx.
Aplicando o Teorema da Divergência:
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec S=\iiint_{V}3\;dV =3\int_{x=-1}^{2}\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1} r\,dr\,d\theta\,dx.

Passo 6

Calcule a integral passo a passo (sem uso de calculadora, só integrais elementares):
  1. Integral em r:
\int_{r=0}^{1} r\,dr=\left.\frac{r^{2}}{2}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{2}.
  1. Integral em \theta:
\int_{\theta=0}^{2\pi} \frac{1}{2}\,d\theta=\frac{1}{2}\cdot (2\pi)=\pi.
  1. Integral em x:
\int_{x=-1}^{2} \pi\,dx=\pi\cdot (2-(-1))=\pi\cdot 3=3\pi.
Multiplicando pelo fator 3 que vem da divergência:
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec S = 3 \times 3\pi = 9\pi.

Passo 7

Interpretação final e motivação: o cálculo ficou simples porque a divergência era constante ( 3), transformando a integral de fluxo em 3 vezes o volume do cilindro. Em provas, sempre que o campo permitir (divergência simples) e a superfície for fechada, o Teorema da Divergência costuma ser o caminho mais rápido. Você consegue! 😉

Resposta

9\pi

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