(2,5 pontos) Calcule a integral
\int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}} \int_{3}^{x^{2}+y^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right) d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral tripla
\int_{-1}^{1}\int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}}\int_{3}^{x^{2}+y^{2}}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dz\,dy\,dx.
O domínio projetado no plano xy é o disco x^{2}+y^{2}\le1. Vamos usar integração iterada e depois passar a coordenadas polares para simplificar a parte em x,y.

Passo 2

Primeiro calculamos a integral interna em z, tratando x^{2}+y^{2} como constante em relação a z:
\int_{3}^{x^{2}+y^{2}}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dz =\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\bigl[(x^{2}+y^{2})-3\bigr].

Passo 3

O restante fica
\iint_{x^{2}+y^{2}\le1}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\bigl[(x^{2}+y^{2})-3\bigr]\,dx\,dy.
Em coordenadas polares (x=r\cos\theta,y=r\sin\theta) temos x^{2}+y^{2}=r^{2} e dx\,dy=r\,dr\,d\theta. O domínio é r\in[0,1], \theta\in[0,2\pi]. A integral vira
\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{1}r^{2}(r^{2}-3)\,r\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{1}r^{3}(r^{2}-3)\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calculemos a integral em r:
\int_{0}^{1}r^{3}(r^{2}-3)\,dr =\int_{0}^{1}\bigl(r^{5}-3r^{3}\bigr)\,dr =\Bigl[\frac{r^{6}}{6}-\frac{3r^{4}}{4}\Bigr]_{0}^{1} =\frac{1}{6}-\frac{3}{4} =-\frac{7}{12}.

Passo 5

A integral em \theta é \int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi. Portanto o valor total é
2\pi\cdot\Bigl(-\frac{7}{12}\Bigr) =-\frac{7\pi}{6}.

Resposta

-\frac{7\pi}{6}

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