Resolva as equações abaixo:
x^{3}-i=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
x^{3}-i=0,
ou seja, encontrar todas as raízes complexas de x^{3}=i.
O conteúdo usado aqui é a forma polar dos números complexos e o Teorema de De Moivre para extrair raízes.

Passo 2

Primeiro escrevemos
x^{3}=i.
Como i é o número complexo de módulo 1 e argumento \tfrac{\pi}{2} (mais múltiplos inteiros de 2\pi), temos em forma exponencial
i=e^{i\left(\tfrac{\pi}{2}+2\pi n\right)},\quad n\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Para obter as raízes cúbicas usamos que, se x^{3}=Re^{i\theta}, então
x=R^{1/3}e^{i\frac{\theta+2\pi k}{3}},\quad k=0,1,2.
Aqui R=1 e \theta=\tfrac{\pi}{2}+2\pi n. Como R^{1/3}=1, basta escolher n=0 e k=0,1,2 (os outros n levam às mesmas raízes quando variamos k em 0,1,2).

Passo 4

Tomando \theta=\tfrac{\pi}{2} e aplicando para k=0,1,2, obtemos
x_k = e^{\,i\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi k}{3}} = e^{\,i\left(\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi k}{3}\right)}.
Agora calculamos cada caso:
x_{0}=e^{i\frac{\pi}{6}}=\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)+i\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr) =\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2},
x_{1}=e^{i\left(\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi}{3}\right)}=e^{i\frac{5\pi}{6}} =\cos\!\bigl(\tfrac{5\pi}{6}\bigr)+i\sin\!\bigl(\tfrac{5\pi}{6}\bigr) =-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2},
x_{2}=e^{i\left(\frac{\pi}{6}+\frac{4\pi}{3}\right)}=e^{i\frac{9\pi}{6}} =e^{i\frac{3\pi}{2}} =\cos\!\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)+i\sin\!\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr) =-i.

Resposta

As soluções de x^{3}-i=0 são
x=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2},\quad x=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2},\quad x=-i.

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