(1,5 pontos) Calcule a integral de linha
\int_{c} 4 x^{3} e^{y} d x+3 x^{4} e^{y} d y
sendo C o quadrado de lados x=0 até x=1 e y=0 até y=1. Dica: Use o Teorema de Green.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}4x^{3}e^{y}\,dx+3x^{4}e^{y}\,dy
em que C é o contorno do quadrado 0\le x\le1, 0\le y\le1. O conteúdo aqui é o uso do Teorema de Green para transformar essa integral de linha numa integral dupla sobre a região D do quadrado.

Passo 2

Pelo Teorema de Green, para a região D limitada por C percorrida no sentido anti-horário vale
\int_{C}P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA,
onde P(x,y)=4x^{3}e^{y} e Q(x,y)=3x^{4}e^{y}.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{4}e^{y}\bigr) =12x^{3}e^{y}, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(4x^{3}e^{y}\bigr) =4x^{3}e^{y}.
Então
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =12x^{3}e^{y}-4x^{3}e^{y} =8x^{3}e^{y}.

Passo 4

Substituímos na integral dupla sobre D=[0,1]\times[0,1]:
\int_{C}P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}8x^{3}e^{y}\,dA =\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}8x^{3}e^{y}\,dy\,dx.

Passo 5

Como a função separa em x e y, fazemos primeiro a integral em y:
\int_{0}^{1}e^{y}\,dy =e^{y}\Big|_{0}^{1} =e-1.
E em x:
\int_{0}^{1}8x^{3}\,dx =8\cdot\frac{x^{4}}{4}\Big|_{0}^{1} =2.
Multiplicando,
\int_{C}P\,dx+Q\,dy =2\,(e-1).

Resposta

2(e-1)

Exercícios relacionados