(2,5 pontos) Calcule a integral
integral1^e ln (x)x d x
pestão: Substituição.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral integral1^e ln (x)x , dx. A matéria que vamos usar aqui é o Cálculo Integral, especificamente o método de substituição. Basicamente, vamos trocar uma parte da integral por uma variável mais simples para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = ln(x)
Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir o dx:
dudx = 1x Rightarrow du = 1x , dx
Perceba que 1x , dx está exatamente na nossa integral original, então podemos substituir.

Passo 3

Com a substituição feita, nossa integral fica mais simples:
integral1^e ln (x)x , dx = integralu(1)^u(e) u , du
Agora, precisamos calcular os novos limites de integração. Quando x = 1:
u = ln(1) = 0
E quando x = e:
u = ln(e) = 1
Então, a integral fica:
integral0^1 u , du

Passo 4

Agora, vamos integrar u em relação a u:
integral u , du = u^22 + C
Como estamos com limites definidos, vamos calcular a integral definida:
[ u^22 ]0^1 = 1^22 - 0^22 = 12 - 0 = 12

Resposta

A integral integral1^e ln (x)x , dx é igual a 12.

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