(2,5 pontos) Calcule a integral
integral x sen(2 x) d x
Cugestão: Integração por Partes.

Passo 1

Oi! Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral integral x sin(2x) , dx. Esse problema faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente de Integração por Partes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essa técnica de integração que ajuda a integrar o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Isso significa que escolhemos duas partes da nossa função original, u e dv, derivamos u para obter du e integramos dv para obter v.

Passo 3

Agora, vamos identificar u e dv na nossa integral integral x sin(2x) , dx:
  • Escolha de u: Vamos escolher u = x, porque ao derivar, simplifica.
  • Escolha de dv: Então, dv = sin(2x) , dx.

Passo 4

Vamos calcular du e v:
  • Derivando u:
du = ddx(x) , dx = 1 , dx
  • Integrando dv:
v = integral sin(2x) , dx = -12 cos(2x)
(Aqui usamos a integral de sin(ax), que é -1a cos(ax))

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x sin(2x) , dx = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= x (-12 cos(2x)) - integral (-12 cos(2x)) , dx
Simplificando:
= -x2 cos(2x) + 12 integral cos(2x) , dx

Passo 6

Vamos calcular a integral restante:
integral cos(2x) , dx = 12 sin(2x)
Então,
= -x2 cos(2x) + 12 cdot 12 sin(2x)
= -x2 cos(2x) + 14 sin(2x)

Resposta

A integral integral x sin(2x) , dx é igual a:
-x2 cos(2x) + 14 sin(2x) + C
onde C é a constante de integração.

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