(2 pontos) Calcule a integral
integral x^2 raizx^3+1 d x
gestão: Substituição.

Passo 1

Beleza! A gente precisa calcular a integral:
integral x^2 raizx^3 + 1 , dx
Vamos usar o método de substituição, que é uma técnica que ajuda a simplificar integrais transformando partes da expressão em algo mais fácil de trabalhar.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma parte da expressão para substituir. Olhando para dentro da raiz, temos x^3 + 1. Vamos chamar isso de u:
u = x^3 + 1

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir o dx:
du = ddx(x^3 + 1) , dx = 3x^2 , dx

Passo 4

Temos na integral original x^2 , dx, que aparece na expressão de du. Vamos resolver para x^2 , dx:
x^2 , dx = du3

Passo 5

Agora, substituímos u e x^2 , dx na integral original:
integral x^2 raizx^3 + 1 , dx = integral raizu cdot du3 = 13 integral u^1/2 , du

Passo 6

Vamos integrar u^1/2:
integral u^1/2 , du = u^3/232 = 23 u^3/2
Então, multiplicando pela constante que tinha antes:
13 cdot 23 u^3/2 = 29 u^3/2

Passo 7

Finalmente, substituímos de volta u = x^3 + 1:
29 (x^3 + 1)^32 + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a
29 (x^3 + 1)^32 + C

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