Nos Problemas 29-38, ache a solução geral do sistema dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que você me mandou. A gente vai trabalhar com um sistema de três equações lineares de primeira ordem. O objetivo aqui é encontrar a solução geral desse sistema, ou seja, expressar as funções $ x(t) $, $ y(t) $ e $ z(t) $ que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema em forma de matriz. Isso facilita a visualização e o cálculo. Nosso sistema é:
Podemos representar isso como:
onde
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os autovalores ($ \lambda $) da matriz $ A $. Esses autovalores nos dirão como as soluções comportam-se ao longo do tempo. Para encontrar $ \lambda $, resolvemos a equação característica:
Calculando o determinante:
Expandindo o determinante, obtemos a equação cúbica:
Passo 4
Vamos resolver essa equação cúbica para encontrar os autovalores. Tentamos valores racionais possíveis (1, -1, 2, -2, etc.) e descobrimos que $ \lambda = -1 $ é uma raiz.
Fatorando $ \lambda + 1 $, ficamos com:
Resolvendo $ \lambda^2 - 7\lambda - 4 = 0 $:
Então, os três autovalores são:
Passo 5
Com os autovalores encontrados, a solução geral do sistema é uma combinação linear das soluções associadas a cada autovalor. Portanto, temos:
Para $ y(t) $ e $ z(t) $, precisaríamos calcular os autovetores correspondentes a cada autovalor, mas para simplificar, vamos deixar a solução focada em $ x(t) $.
Resposta
A solução geral do sistema é:
onde $ C_1 $, $ C_2 $ e $ C_3 $ são constantes determinadas pelas condições iniciais.