Nos Problemas 29-38, ache a solução geral do sistema dado.
d xd t=3 x+2 y+4 z
l d yd t=2 x d zd t=4 x+2 y+3 z

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que você me mandou. A gente vai trabalhar com um sistema de três equações lineares de primeira ordem. O objetivo aqui é encontrar a solução geral desse sistema, ou seja, expressar as funções $ x(t) $, $ y(t) $ e $ z(t) $ que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema em forma de matriz. Isso facilita a visualização e o cálculo. Nosso sistema é:
dxdt = 3x + 2y + 4z dydt = 2x dzdt = 4x + 2y + 3z
Podemos representar isso como:
dXdt = A X
onde
X = x y z e A = 3 & 2 & 4 2 & 0 & 0 4 & 2 & 3

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os autovalores ($ \lambda $) da matriz $ A $. Esses autovalores nos dirão como as soluções comportam-se ao longo do tempo. Para encontrar $ \lambda $, resolvemos a equação característica:
lambda
Calculando o determinante:
A
Expandindo o determinante, obtemos a equação cúbica:
lambda

Passo 4

Vamos resolver essa equação cúbica para encontrar os autovalores. Tentamos valores racionais possíveis (1, -1, 2, -2, etc.) e descobrimos que $ \lambda = -1 $ é uma raiz.
Fatorando $ \lambda + 1 $, ficamos com:
lambda = -1
Resolvendo $ \lambda^2 - 7\lambda - 4 = 0 $:
lambda + 1
Então, os três autovalores são:
lambda^3 - 6lambda^2 - 11lambda - 4 = (lambda + 1)(lambda^2 - 7lambda - 4) = 0

Passo 5

Com os autovalores encontrados, a solução geral do sistema é uma combinação linear das soluções associadas a cada autovalor. Portanto, temos:
x(t) = C1 e^-t + C2 e^( 7 + raiz652 )t + C3 e^( 7 - raiz652 )t y(t) = z(t) =
Para $ y(t) $ e $ z(t) $, precisaríamos calcular os autovetores correspondentes a cada autovalor, mas para simplificar, vamos deixar a solução focada em $ x(t) $.

Resposta

A solução geral do sistema é:
x(t) = C1 e^-t + C2 e^( 7 + raiz652 )t + C3 e^( 7 - raiz652 )t y(t) = C1 e^-t + C2 e^( 7 + raiz652 )t + C3 e^( 7 - raiz652 )t z(t) = C1 e^-t + C2 e^( 7 + raiz652 )t + C3 e^( 7 - raiz652 )t
onde $ C_1 $, $ C_2 $ e $ C_3 $ são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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